9.1. Основные понятия и определения

Если физическое состояние каждой точки в некото­ром пространстве характеризуется присущим данной точке значением той или иной векторной (или скаляр­ной) величины, то говорят, что в этом пространстве существует векторное (или скалярное) математическое поле.

Рис.9.1. Элементарный поток вектора Е

Скалярное произведение Eds=Eds cos(E, ds) называется элементарным потоком вектора Е через площадку ds. Интеграл этой величины, взятый по всей поверхности, окружающей рассматриваемый объём, Eds выразит полный поток вектора, выходящий из объёма.

Поток является скалярной величиной. Вычисление потока может производиться также и через какую угодно незамкну­тую поверхность.

Рис.9.2.

Дивергенция вектора. Полный поток вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую малый объём, может быть равен нулю или же отличаться от нуля.

В первом случае в объёме не содержится ни источника, ни стока (некоторого физического объекта, в котором линия поля могла бы начинаться или заканчиваться). Ограничивающая объём замкнутая поверхность может, однако, оказаться дважды пронизан­ной линией поля, идущей от источника, расположенного вне данного объема, к стоку, также находящемуся вне его.

Во втором случае внутри объёма находится либо источник, либо сток.

Предел, к которому стремится отношение полного потока вектора через замкнутую поверхность к величине ограничиваемого ею объёма при бесконечном уменьше­нии последнего, называется дивергенцией или расходи­мостью вектора

.

Дивергенцию вектора в какой-либо точке можно условно охарактеризовать числом линий поля, начинаю­щихся или заканчивающихся в малом объеме, центриро­ванном в данной точке.

Дивергенция является скалярной величиной и она положительна, если линия поля начинается в малом объё­ме, или отрицательна, если линия поля в этом объёме заканчивается.

Ф

Рис.9.3. Дивергенция вектора скорости

На рис. 9.3,б показан отрезок трубы, закрытой с левого конца. Вначале труба была закрыта крышкой и с правого конца, а внутрь трубы накачали газ до некоторого давления выше атмосферного. Затем крышку с правого конца трубы сняли и сжатый газ стал выходить в атмосферу. Если движение газа в трубе представить векторным полем скоростей v, то дивергенция (расходимость) скорости не будет равна нулю, так как общее количество газа в каком-нибудь выделенном внутри трубы объёме s, очерченном пунктирной линией, с течением времени не остается постоянным, а уменьшается вследствие расширения газа.

Ц

Рис.9.4.

.

Циркуляция обладает свойством аддитивности. Это означает, что сумма циркуляции по контурам Г₁ и Г₂, равна циркуляции по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Действительно, циркуляция C₁ по контуру, ограничивающему поверхность S₁, может быть представлена как сумма интегралов

. (9.1)

Первый интеграл берется по участку I внешнего контура, вто­рой — по общей границе поверхностей S₁ и S₂ в направлении 2—1. Аналогично, циркуляция С2 по контуру, ограничивающему по­верхность S2, равна

. (9.2)

Первый интеграл берется по участку II внешнего контура, второй — по общей границе поверхностей S₁ и S₂ в направлении 1—2. Циркуляция по контуру, ограничивающему суммарную поверх­ность S, может быть представлена в виде

. (9.3)

Вторые слагаемые в выражениях (9.1) и (9.2) отличаются только знаком. Поэтому сумма этих выражений оказывается рав­ной выражению (9.3). Таким образом,

.

Доказанное соотношение не зависит от формы поверхностей и справедливо при любом числе слагаемых. Следовательно, если разбить произвольную поверхность S на большое число элементарных поверхностей S (рис.9.5), то циркуляция по контуру, ограничивающему S, может быть представлена как сумма элементарных циркуляции С по контурам, ограничиваю­щим S:

.

Рис.9.5.

.

Знак ротора определяется правилом правоходового винта. Если винт поворачивать в плоско­сти контура циркуляции в на­правлении, показанном на рис.9.5, то поступательное движение за плоскость чертежа бу­дет указывать направление ротора.