Кубическое задание функций алгебры логики

Как следует из рассмотренного выше, функция алгебры логики (булева функция) может быть задана:

• аналитически (системой булевых функций);

• словесным описанием;

• таблицей истинности;

• картами (диаграммами) Венна, Вейча, Карно;

• логической схемой.

Более компактной формой записи функций алгебры логики является форма, когда вместо полного перечисления всех конъюнкций (дизъюнкций) используют номера наборов, на которых функция принимает единичное значение. Так, например, форма записи f(x₁x₂x₃)=V F(0,2,3) означает, что функция от трех переменных принимает единичное значение на 0, 2 и 3 наборах таблицы истинности. Такая форма записи называется числовой.

Некоторые методы минимизации ориентируются на задание булевой функции в виде кубического покрытия. При этом логическая функция удобно интерпретируется с использованием ее геометрического представления. Так, функцию двух переменных можно интерпретировать как плоскость, заданную в системе координат х₁х₂. Получится квадрат, вершины которого соответствуют комбинациям переменных. Для геометрической интерпретации функции трех переменных используется куб, заданный в системе координат х₁х₂х₃ .

Новое представление булевой функции получается путем отображения булевой функции n переменных на n-мерный куб (n-куб).

Для отображения булевой функции n переменных на n-кубе устанавливается соответствие между членами СДНФ и вершинами n-куба. На n-кубе определим координатную систему с координатами (e₁,......,e_n), e_i=0,1.

Установим соответствие между членом СДНФ x₁^e1 x₂^e2... x_n^en и некоторой вершиной e₁,e₂, ....,e_n куба. При этом x_i^ei = x_i, если e_i=1, и x_i^ei = x_i, если e_i=0.

Р ис.23. Геометрическое представление функции двух и трех переменных

Каждый набор при кубическом задании ФАЛ называется кубом.

Как следует из таблицы истинности (табл. 14), функция f определена на трех группах наборов переменных: L={3,4,5,6,7}, D={0,2} и N={1}.

Конъюнкции максимального ранга (конституенты единицы) принято называть 0-кубами. Множество 0-кубов образуют кубический комплекс

011

100

К⁰ = 101 .

110

111

Над 0-кубами, кодовое расстояние которых равно 1, выполняется операция склеивания, в результате которой образуются новые кубы, содержащие свободные координаты. Свободная (независимая) координата может принимать как нулевое, так и единичное значение, остальные компоненты называются связанными. Куб, содержащий свободные координаты, покрывает кубы, на которых он образован. Куб с одной независимой координатой х называется кубом первой размерности и в геометрическом представлении это ребро, покрывающее обе вершины. Кубы, образующиеся в результате последовательного выполнения операции склеивания, назовем r-кубами, где r – размерность полученного куба.

Рис. 24. Образование новых кубов

Кубическое представление ФАЛ позволяет обойтись тремя переменными 0,1,х вместо х₁, х₂,...,х_n .

Количество свободных координат в кубе определяет его размерность r, чем i-го куба. больше r, тем больше свободных координат и тем меньше входов будет иметь реализующая его схема (логический элемент).

Цена схемы определяется количеством входов элементов, используемых для ее реализации:

,

где k − количество полученных кубов; n-r_i − количество единичных и нулевых значений

Два r-куба могут образовать r+1-куб, если в этих r-кубах все координаты, в том числе и свободные, совпадают, за исключением лишь какой-либо одной, которая в этих кубах имеет противоположное значение.

На рис. 25 приведено изображение куба, соответствующего булевой функции от четырёх переменных (гиперкуб).

Рис. 25. Геометрическое представление функции четырех переменных

Как следует из рисунка, геометрическое представление 4-куба уже довольно сложное. Поэтому для функций, зависящих более чем от четырёх переменных, предпочтительным является аналитическое представление булевых функций.