8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть дана система n дифференциальных уравнений 2^го порядка.

, (8.9)

где –к-тая функция, которую необходимо найти,

- коэффициенты системы,

- правые части.

Пусть заданы начальные условия

Пусть

Применяя к обеим частям каждого уравнения преобразование Лапласа, получим систему:

,

Эта алгебраическая система относительно неизвестных . Решим её и затем переходим к оригиналам.

Пример. Решить систему

При начальных условиях x(0)=1, y(0)=0, z(0)=-1.

Решение: Пусть , ,

В области изображений система примет вид:

или

Решим систему:

.

Аналогично найдутся и другие функции y(t) и z(t). Для решения системы дифференциальных уравнений операторным методом требуется решить только одну систему линейных алгебраических уравнений. При этом учитываются и начальные условия. Следует отметить возможность нахождения каждой неизвестной функции независимо от других. Проделать тоже самое классическим методом весьма затруднительно.