9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики

Методы операционного исчисления, основанные на идее использования преобразования Лапласа являются наиболее эффективным при решении основных задач для дифференциальных уравнений в частных производных.

Неизвестная функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению в частных производных и заданным условиям, может быть определена с помощью однократного либо двукратного преобразования Лапласа.

В первом случае преобразование Лапласа применяют к дифференциальному уравнению в частных производных по одной из двух независимых переменных в предположении, что другая остается неизменной. Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно изображения искомой функции интегрируется не операционным методом, а классическим. Возвращаясь от полученного изображения к оригиналу, находим решение поставленной задачи.

Во втором случае к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно изображения искомой функции опять применяют преобразование Лапласа, но по другой независимой переменной. В результате получают алгебраическое уравнение, из которого находят «двукратное» изображение искомой функции. С помощью двух обратных преобразований Лапласа восстанавливается искомая функция

Решение дифференциального уравнения, найденное с помощью двукратного преобразования Лапласа, не зависит от того, в какой последовательности применялись прямые и обратные преобразования.

Удачно выбранный порядок в двукратном преобразовании может значительно облегчить решение задачи.

Операционный метод удобнее применять при решении задач математической физики, если:

начальные условия нулевые;

существуют изображения для всех функций, входящих в уравнение;

изображение искомого решения удовлетворяет следующим условиям:

Пример 1

Найти решение уравнения , если

Применим преобразование Лапласа по переменной , тогда

Заданное уравнение примет вид:

и решим методом Бернулли.

Согласно этому методу,

Осуществляя данную подстановку в уравнение, получим

или

Решая первое уравнение системы, получим

или

Подставим найденную функцию W во второе уравнение, будем иметь:

Откуда

Тогда

Так как

- изображение по Лапласу, то и тогда принимаемС=0, то есть

Возвращаясь к оригиналу, получим

Пример 2.

Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям,

Сначала применим преобразование Лапласа по переменной , получим

Условие примет вид

Применим преобразование Лапласа еще раз, но уже по переменной , получим

Это алгебраическое уравнение относительно «двукратного» изображения -

Решим его:

Возвращаясь к оригиналу по p, получаем:

Возвращаясь к оригиналу по q, получаем:

Пример 3.

Найти формулу колеблющейся струны, закрепленной на концах, если начальные скорости ее точек равны нулю, а начальные отклонения заданы соотношением

Подстановка задачи: найти решение уравнения ,, неравное тождественно нулю, удовлетворяющее граничным условиям:

Будем решать эту задачу методом Лапласа. Применим преобразование Лапласа по переменной t, предварительно переписав уравнение в виде

Будем иметь

Граничные условия при этом примут вид:

Относительно изображения искомого решения – функции получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, неоднородное, с правой частью специального вида. Его решение

где - общее решение однородного уравнения

Составим и решим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения примет вид

- частное решение неоднородного уравнения. Его вид с точностью до неопределенных коэффициентов будет

Для нахождения B и C вычислим:

и подставим в уравнение:

Отсюда имеем:

Тогда

Для нахождения С₁ и С₂ удовлетворим граничным условиям:

Очевидно, что С₁= С₂=0.

Таким образом, имеем

Возвращаясь к оригиналу, получим:

Пример 4.

Найти решение уравнения теплопроводности , удовлетворяющие начальному условию, гдеи граничным условиями.

Применяя к уравнению теплопроводности преобразование Лапласа по переменной t, получим:

Граничные условия при этом примут вид:

Перепишем полученное обыкновенное дифференциальное уравнение в виде:

Его общее решение:

где - общее решение однородного уравнения

Составим и решим характеристическое уравнение:

Тогда

Второе слагаемое есть частное решение неоднородного уравнения.

Оно имеет вид .

Тогда

Подставляя в уравнение, находим:

Отсюда

Тогда

Удовлетворим граничным условиям:

При этом

Возвращаясь к оригиналу, получим:

или