8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

С помощью преобразования Лапласа можно выполнить интегрирование некоторых видов линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть задано дифференциальное уравнение:

Рассмотрим случай, когда коэффициенты этого уравнения являются полиномами отt, тогда это уравнение может быть преобразовано по Лапласу, если воспользоваться теоремой дифференцирования изображения.

……………………………………………………….

Подставляя в уравнение полученные результаты, можно убедиться, что исходное дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение относительно , но это уже будет обыкновенное линейное дифференциальное уравнение. Порядок этого уравнения будет такой, какова наивысшая степеньt имеющаяся в исходном уравнении.

Целесообразность преобразования по Лапласу в том, что преобразованное дифференциальное уравнение оказывается более простым, чем исходное.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

или

.

Получим линейное дифференциальное уравнение 1 порядка. Решим его методом Бернулли с помощью подстановки X=UV. При этом уравнение примет вид:

Согласно методу Бернулли будем иметь:

Тогда изображения искомого решения примет вид:

Возвращаясь к оригиналу, получим