2.Корисність по Нейману

Корисність по Нейману оцінюється за допомогою лотереї, яка визначає, одержати х* з вірогідністю (1-р) або х* з вірогідністю р. Величини виграшу в лотерею х* і х* вибираються так, що что х*≡ х, х_*< х, для всіх х Х,, тобто х* - якнайменше пріоритетне значення виграшу;

х* - найпріоритетніше значення виграшу.

Експерту пропонують вибір: одержати суму х або виграш в лотерею.

Під лотереєю розуміється ситуація виграшу х* з вірогідністю р або х* з вірогідністю (1-р).

Лотерея L (х*, р(х), х*). Значення р змінюються до тих пір, поки значення х і виграш в лотерею приблизно порівняються.

Очікуваний виграш в лотерею L (лотерея має N виграшів, І – корисність):

Справедлива головна формула теорії очікуваної корисності:

- корисність ансамблю результатів співпадає з математичним очікуванням корисності результатів.

Поняття "певного еквівалента" лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику і їх взаємозв'язку з функціями корисності.

Певний еквівалент лотереї L – це гарантована сума, отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто ~ L. Значення визначається з рівняння:

або

Якщо можливі виграші описуються щільністю розподілу φ(υ), то очікуваний виграш в лотереї рівний:

а певний еквівалент є рішенням рівняння:

Певний еквівалент – суб'єктивна оцінка лотереї на основі оцінок очікуваних результатів.

Приклади функції корисності (певного еквівалента).

1.Зростаюча функція для суб'єкта, байдужого до ризику:

І(х)= а + вх; у > 0.

2. Зростаюча функція для суб'єкта, не схильного до ризику:

І(х)= log(x + у), х > -в.

3.Зростаюча функція з несхильністю до ризику:

И(х) = а – ве^-сх, в > 0, х ≥ 0.

4. Зростаюча функція з схильністю до ризику:

И(х) = а – ве^-сх, в > 0, х ≥ 0.

По своїй фізичній суті премія за ризик (надбавка за ризик) – це сума (у одиницях вимірювання критерію х – виграш або збиток), якої суб'єкт управління ризиком згоден пожертвувати з середнього виграшу, щоб уникнути ризику (платня за ризик), пов'язаного з лотереєю.