5. Динамічна модель розподілу ресурсів (модель д)

Модель Д. Це найбільш широко використовувана модель розподілу банківських ресурсів, оскільки в ній відображається вимога заощадження ресурсів, а дохід прямо пропорційний їх об'єму.

Розподіл банківських ресурсів відбувається при виконанні операцій в часі. При цьому набувають актуальність динамічні розподільні моделі, що враховують ризик.

Постановка такої задачі має вигляд:

де х_j - об'єм виділеного ресурсу;

N_j – питомий дохід на одиницю ресурсу (процентна ставка);

φ_j(t_j) – функція ризику втрати доходу за час t_j.

В даному випадку F_j характеризує дохід від вкладення j-го активу. Якщо розв'язується задача розподілу ресурсів між М активами, то постановка задачі прийме вигляд :

Визначити х_j , що максимізують загальний дохід F, причому

при

При визначенні часовового критерію ризику показано, що:

де I – дисконтна ставка в десяткових дробах;

φ(t) – щільність ймовірності зниження ефективності використовування ресурсу при вкладенні його в актив х_j.

При цьому:

. (6)

Визначимо першу похідну

. (7)

Рішення рівняння (7) має вигляд:

.

Рішення х⁽¹⁾ не має сенсу, тому приймаємо х⁽²⁾.

Розглянемо

і в точці екстремуму маємо максимум.

Результати розрахунку х_opt при різних значеннях t_j λ_j(P_j) приведені в табл.4.1.

Таблиця 4.1. Розрахунок оптимального х_j

У табл.4.1. час вимірюється в роках, а значення х вимірюється в одиницях, щодо яких визначається ризик P_j і значення N_j.

Аналіз результатів, приведених в табл.1, дозволяє зробити висновки:

1.При визначенні величини ресурсу, видаваного як кредит, існує його оптимальне значення (табл.4.1.).

2.Величина кредиту, що виділяється, в значній мірі визначається рівнем ризику, особливо при великих часовових інтервалах.

3.Величина оптимального об'єму кредиту обернено пропорційна часу, на яке він видається.

Досліджуємо розподіл ресурсів між об'єктами, спочатку розглянемо випадки М = 2, тоді j = 1,2. При цьому з (6) слідує:

(8)

Оскільки х₁+ х₂ ≤ R, замість х₁ використовуємо позначення х, а замість х₂ підставимо у формулу (8) R-х, в результаті одержимо:

(9)

Знайдемо екстремальне рішення для (9), для чого визначимо:

(10)

У явному вигляді знайти значення коріння рівняння (10) не вдається, тому визначимо характер рішення (10).

Виберемо довільну крапку і розглянемо значення в крапках, де - мала величина. З рівняння (10) безпосередньо визначаємо:

,

отже, функція - зростаюча, що дає можливість припустити існування максимуму.

Для з'ясування характеру функції F_1,2(x) побудуємо графік залежності F_1,2(x) за даними, приведеними в табл. 4.2.

Таблиця 4.2. Значення параметрів функції.

Вариант2

Рис.4.1. Графік залежності F_1,2(x) = f (x)

Аналіз графіків залежності F_1,2(x) дозволяє зробити висновки:

1.Варіант 1 показує, що оптимальний розподіл допускається при х = 16-18, коли основний ресурс вкладається в менш прибутковий (N₁) об'єкт, але менш ризикований.

2.Варіант 2 показує корисність диверсифікації, коли частина ресурсу (х = 4-6) прямує в менш прибутковий об'єкт при однаковому рівні ризику.

3.Порівняння варіантів 1 і 2 також підтверджує корисність диверсифікації: загальний дохід максимізується при розподілі ресурсу між більш прибутковим (R-x) і менш прибутковим, оскільки при цьому відбувається розподіл ризику.

4.Найбільше значення на розподіл ресурсу надає не значення N_j, а рівень ризику (P_j) і час надання кредиту.

Дослідження (формули (6), (9) і рис.4.1.) показали залежність об'єму виділення ресурсу від значень P_j і t_j. Але результати розподілу ресурсів по об'єктах можуть не співпадати з індивідуально певними значеннями (диверсифікація).

Наприклад, на графіках рис.4.1. при індивідуальному розрахунку х_opt = 19,5; (R-x)_opt = 3,5. Одночасне при сумісному розрахунку х_opt = 16; (R-x)_opt = 4 для першого варіанту. Для другого варіанту х_opt = 6; (R-x)_opt = 14.