§3. Параметрические уравнения прямой

Теорема. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точкуМ₀(х₀,у₀) и имеющей направляющий вектор, в декартовой системе координат имеют вид

.

Доказательство.ПустьМ(х,у) – произвольная точка плоскости. ТочкаМ(х,у) будет лежать на данной прямой тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда они отличаются числовым множителем (т.е. пропорциональны)

(2.7)

или в координатах , откуда

.

Если tпринимает все действительные значения, то точкаМс этими координатами описывает всю данную прямую.

Вводя радиусы-векторы иточекМ₀иМ, можно соотношение (2.7) переписать так: , откуда

. (2.8)

Это параметрическое уравнение прямой в векторной форме, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор.