Глава 3

ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ

ТОЧКУ КОМПЛАНАРНО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ

Теорема. В декартовой прямоугольной системе координатx, y, zуравнение плоскостиP, проходящей через точку, компланарной двум неколлинеарным векторами, имеет вид

(3.1)

Доказательство. Пусть– произвольная точка пространства. Точкалежит на плоскостиРтогда и только тогда, когда векторы,икомпланарны. Необходимое и достаточное условие компланарности этих векторов имеет вид (кн.2, гл.6, §3, п.3.2):

.

§2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Покажем, что алгебраической поверхностью первого порядка является плоскость. Для этого докажем следующие теоремы.

Теорема 1.Плоскость в прямоугольной декартовой системе координат определяется общим уравнением первой степени относительно текущих координат.

Доказательство. Фиксируем на плоскостиРпроизвольную точкуи возьмем два неколлинеарных вектораи, каждый из которых коллинеарен плоскостиР. Тогда на основании предыдущего параграфа уравнение плоскостиРможно записать в виде (3.1) или

. (3.2)

Так как векторы инеколлинеарны, то по крайней мере один из определителей

не равен нулю. Действительно, при равенстве нулю всех определителей имело бы место соотношение

,

а это означало бы, что векторы коллинеарны. Следовательно, уравнение (3.2) – уравнение первой степени относительно x, y, z.Если еще положить

,

то уравнение (3.2) примет вид

. (3.3)

Уравнение (3.3) называется общим уравнением плоскости.

Теорема2 (обратная). Общее уравнение первой степени

(3.4)

в прямоугольной декартовой системе координат x, y, z.Является уравнением плоскости.

Доказательство. Пустьx₀, y₀, z₀– какое-нибудь решение данного уравнения, т.е.

. (3.5)

Уравнение (3.4) будет эквивалентно уравнению, которое мы получим, вычитая почленно из уравнения (3.4) равенство (3.5):

. (3.6)

Одно из чисел не равно нулю; пусть, например,, тогда уравнение (3.6) эквивалентно уравнению

. (3.7)

В самом деле, последнее уравнение после раскрытия определителя примет вид

,

или (так как )

.

Далее, векторы инеколлинеарны, поскольку один из определителей

не равен нулю (в силу условия не равен нулю первый определитель). Поэтому уравнение (3.7), а значит и данное уравнение (3.4) определяет (на основании предыдущей теоремы) плоскость, проходящую через точкукомпланарно двум не коллинеарным векторам (в случае):

и.

Аналогично доказывается, что данная плоскость (в случае ) компланарна векторами, неколлинеарным между собой, а в случае– векторами, которые также неколлинеарны.

Таким образом, каждая плоскость есть поверхность первого порядка, и, наоборот, каждая поверхность первого порядка есть плоскость.