6.2. Условие параллельности двух плоскостей

Теорема.Для того, чтобы плоскости (3.12) и (3.13) были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты приx, y, zв уравнениях (3.12) и (3.13) были пропорциональны, но чтобы свободные члены не были им пропорциональны, т.е. чтобы существовало такое число, что, или чтобы определители

,

но хотя бы один из определителей

не был равен нулю.

Доказательство.Необходимым и достаточным условием параллельности плоскостей (3.12) и (3.13) является коллинеарность их нормальных векторови. Из условия коллинеарности векторов имеем, или

(3.16)

С другой стороны, необходимым и достаточным условием параллельности плоскостей (3.12) и (3.13) является несовместность системы из уравнений (3.12) и (3.13), т.е. любое решение уравнения (3.12) не является решением уравнения (3.13), – это значит, что ни одна из точек, лежащих на плоскости, заданной уравнением (3.12), не лежит на плоскости, заданной уравнением (3.13). На основании теоремы Кронекера-Капелли система несовместна, если ранги основной и расширенной матриц не одинаковы. В рассматриваемом случае все миноры второго порядка основной матрицы системы равны нулю, а среди миноров первого порядка есть отличные от нуля, так как один из коэффициентов как в уравнении (3.12), так и в уравнении (3.13) не должен быть равен нулю. Следовательно, ранг основной матрицы системы равен единице:. Поэтому, чтобы система из уравнений (3.12) и (3.13) была несовместна, ранг ее расширенной матрицыдолжен быть равен двум, а это значит, что среди миноров второго порядкадолжен быть минор, отличный от нуля. Данное условие равносильно тому, что.