3.2. Однополостный гиперболоид

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид

. (5.30)

Будем считать . Также, как и в предыдущем разделе, доказывается, что для однополостного гиперболоида (5.30) начало координат является центром симметрии (центр), оси координат – осями симметрии (главные оси), а координатные плоскости – плоскостями симметрии (главные плоскости).

Если в уравнении (5.30) , то однополостный гиперболоид (5.30) называетсяоднополостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы

вокруг ее мнимой оси (рис.3.14).

Вершинами однополостного гиперболоида называются точки пересечения гиперболоида с его главными осями. Гиперболоид в случае имеет четыре вершины.

Плоскость хОу пересекает однополостный гиперболоид (5.30) по эллипсу, выражаемыми уравнениями

,

Рис. 3.14

называемому горловым эллипсом однополостного гиперболоида. Плоскость yOz пересекает однополостный гиперболоид (5.30) по гиперболе, выражаемой уравнениями

,

а плоскость xOz– по гиперболе, выражаемой уравнениями

.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида (5.30) плоскостями, параллельными координатной плоскости хОу, т.е. плоскостями.

Уравнения линии сечения будут

или

.

Этими уравнениями выражается эллипс с полуосями

(5.31)

с центром на оси Oz в точке и осями, параллельными соответственно осямОх и Оу. Из выражений (5.31) следует, что ,, т.е. горловой эллипс является наименьшим из всех эллипсов, по которым однополостный гиперболоид (5.30) рассекается плоскостями, параллельными плоскостихОу.

Плоскость , параллельная плоскостиyOz, пересекает однополостный гиперболоид (5.30) по линии, выраженной уравнениями

, .

Если , то этими уравнениями определяется гипербола с центром в точке (, лежащая в плоскости, действительная ось которой параллельна осиОу, а мнимая – оси Oz. Полуоси этой гиперболы: (действительная полуось),(мнимая полуось).

Если , то уравнения линии сечения имеют вид

, .

Уравнения

,

являются уравнениями двух пересекающихся прямых:

, – первая прямая;

, – вторая прямая.

Аналогично уравнения ,являются уравнениями двух прямых:

, и ,.

Если , то в сечении получается гипербола, уравнения которой

, .

Действительная ось этой гиперболы параллельна оси Oz, а мнимая – оси Оу; центр лежит в точке .

Асимптоты всех гипербол, получающихся при пересечении однополостного гиперболоида (5.30) плоскостями , параллельны прямым, получающимся при пересечении гиперболоида плоскостями.

Сечения плоскостями , параллельными плоскостиxOz, аналогичны рассмотренным.

Все эти сечения дают представление о форме поверхности однополостного гиперболоида (5.30) (рис.3.14).