§8. Нормальное уравнение плоскости

Пусть дана некоторая плоскость, не проходящая через начало координат. Проведем из начала координат (точки О) луч, перпендикулярный к плоскости. Точку пересечения луча с плоскостью обозначим буквойР, а длину перпендикуляраОР– черезр (рис.3.6).

Рис. 3.6

Выберем на луче единичный векторс направляющими косинусами углов. Положительным направлениембудем считать направление отОкР. Составим уравнение плоскости, считая известными длинуи углы наклонавекторак осямOx, Oy, Oz соответственно.

Возьмем произвольную точку . Эта точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда проекция ее радиуса-векторана лучравнар; эту проекцию можно найти как скалярное произведениена единичный вектор:

.

Отсюда получаем уравнение

, (3.18)

которое называется нормальным уравнением плоскости.

Заметим, что для косинусов направляющих углов луча выполняется равенство

. (3.19)

Таким образом, уравнение плоскости, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат, называетсянормальным, если сумма квадратов коэффициентов при переменных равна 1, а свободный член есть отрицательное число; т.е. если

(3.20)

В векторной форме нормальное уравнение плоскости имеет вид

или.

Если плоскость проходит через начало координат, то р = 0, а направление вектора можно выбирать произвольно.