3.3. Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид

. (5.32)

Начало координат является центром симметрии (центр) двуполостного гиперболоида, оси координат – осями симметрии (главные оси), координатные плоскости – плоскостями симметрии (главные плоскости).

Если в уравнении (5.32) , то двуполостный гиперболоид (5.32) называетсядвуполостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы

вокруг ее действительной оси Oz (рис.3.15).

Рис. 3.15

Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки его пересечения с главной осью Oz.

Двуполостный гиперболоид (5.32) имеет две вершины .

Плоскости xOz и yOz пересекают двуполостный гиперболоид (5.32) по гиперболам

, и,.

Сечение двуполостного гиперболоида плоскостью выражается уравнениями

, .

Если , то первое уравнение не имеет действительных решений – плоскостьне пересекает поверхности.

Если , то

, откуда ,

плоскости встречают поверхность двуполостного гиперболоида в его вершинах. Если, то уравнения линии сечения можно переписать в виде

, .

Этими уравнениями выражается эллипс с полуосями

,

с центром в точке и осями, параллельными соответственно осямОх и Оу. Плоскость пересекает поверхность двуполостного гиперболоида по линии, выраженной уравнениями

, ,

или

, ,

т.е. по гиперболе с центром в точке , лежащей в плоскости. Действительная ось этой гиперболы параллельна осиOz, мнимая – оси Оу.

Аналогично исследуются сечения поверхности (5.32) плоскостями .