1.3. Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемойфокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус, и называемойдиректрисой.

Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется параметром параболы.

Эксцентриситет параболы – отношение расстояния любой точки параболы до фокуса к расстоянию ее до директрисы – есть постоянное число равное единице.

Найдем уравнение параболы. Возьмем такую систему координат хОу, чтобы ось абсцисс проходила через фокусF, перпендикулярно директрисех = Dпараболы, а ось ординат делила расстояние между фокусом и директрисой пополам (рис.3.11).

Рис. 3.11

Расстояние FDмежду фокусом и директрисой параболы обозначим черезр(параметр параболы). В выбранной системе координат фокусFимеет координаты, а уравнение директрисы есть.

Пусть – произвольная точка плоскости. ТогдаМ, согласно определению, будет точкой параболы тогда и только тогда, когда. Так как

, а,

то уравнение параболы имеет вид .

Это уравнение эквивалентно следующему: ,

или

. (5.19)

Уравнение (5.19) называется каноническим уравнением параболы.

Свойства параболы:

1. Сравнивая уравнения (5.19) и (5.2), убеждаемся в том, что парабола есть кривая второго порядка.

2. Поскольку , то из уравнения (5.19) имеем. Следовательно, парабола есть неограниченная кривая, расположенная в правой полуплоскости относительно осиОуи осьОхявляется осью симметрии параболы (рис.3.11). Это единственная ось симметрии параболы.

Парабола не имеет центра симметрии, она не является центральной кривой.

Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы.Парабола (5.19) имеет только одну вершину, которая лежит в начале координатО(0, 0).

3. Уравнение , где, определяет параболу с вершиной в начале координат и осью симметрииОу. Парабола расположена в верхней полуплоскости относительно осиОх.

Уравнение пишут часто в виде, разрешенном относительно ординатыу:

, где.

4. Уравнение , где, определяет параболу, которая симметрична с параболойотносительно осиОу, а уравнение– параболу, которая симметрична с параболойотносительно осиОх.

5. Найдем полярное уравнение параболы. Пусть полюс полярной системы координат совпадает с фокусом параболы , а полярная ось – с положительным направлением осиОх(рис.3.11). Полярные координаты точки параболыобозначим черези, т.е.. Из треугольникаFMKнаходим,.

Подставляя значения хиув уравнение (5.19), получаем

,

Откуда .

Учитывая, что и, имеем.

Тогда полярное уравнение параболы есть

. (5.20)