3.7. Цилиндры второго порядка

Определение 1. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная параллельными между собой прямыми, называемыми ее образующими.

Если какая-нибудь плоскость, пересекающая все образующие цилиндрические поверхности, пересекает ее по линии Р, то эта линия называется направляющей этой цилиндрической поверхности.

Теорема. Если в пространстве введена декартова система координат и уравнение в плоскостихОу является уравнением некоторой линии Р, то это уравнение в пространстве есть уравнение цилиндрической поверхности L с направляющей линией Р, а образующие параллельны оси Oz (рис.3.19, а).

Доказательство. Точка лежит на цилиндрической поверхностиL тогда и только тогда, когда проекция точкиМ на плоскость хОу параллельно оси Oz лежит на линии Р, т.е. тогда и только тогда, когда выполняется уравнение .

Рис. 3.19

Аналогичные заключения имеют место для уравнений вида (рис. 3.19, б) и(рис.3.19, в).

Определение 2. Цилиндрические поверхности, направляющими которых есть линии второго порядка, называются цилиндрическими поверхностями второго порядка.

Существуют три типа цилиндров второго порядка: эллиптический (рис.3.20)

, (5.42)

гиперболический (рис.3.21)

, (5.43)

параболический (рис.3.22)

. (5.44)

Рис. 3.20 Рис. 3.21 Рис. 3.22

Для цилиндров, заданных уравнениями (5.42), (5.43) и (5.44), направляющими линиями являются соответственно эллипс

,

гипербола

,

парабола

,

а образующие параллельны оси Oz.

Замечание. Как мы видели, конические и цилиндрические поверхности второго порядка имеют прямолинейные образующие, причем каждая из этих поверхностей может быть образована движением прямой в пространстве.

Оказывается, что среди всех поверхностей второго порядка, кроме цилиндра и конуса, прямолинейными образующими обладают еще однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид, причем, так же, как и в случае цилиндра и конуса, обе эти поверхности могут быть образованы движением прямой в пространстве (см. специальную литературу).