3.6. Гиперболический параболоид
Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой спкциально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид
, где. (5.37)
Для гиперболического параболоида (5.37) плоскости xOz и yOz являются плоскостями симметрии, а ось Oz – осью симметрии.
Ось симметрии гиперболического параболоида называется просто его осью. Точка, в которой ось гиперболического параболоида пересекает эту поверхность, называется вершиной. Гиперболический параболоид (5.37) имеет вершину в начале координат.
Плоскости xOz и yOz, являющиеся для гиперболического параболоида (5.37) плоскостями симметрии, называются главными плоскостями гиперболического параболоида .
Гиперболический параболоид (5.37) в случае имеет только одну ось симметрии (осьОх), если же , то параболоид имеет еще две оси симметрии:и.
В самом деле, если координаты точки удовлетворяют уравнению, то этому же уравнению удовлетворяют координаты точки, симметричной с точкойотносительно прямой. Так же доказывается, что прямаяявляется осью симметрии.
Плоскость хОу пересекает гиперболический параболоид по двум прямым:
, или ,
и
.
Плоскость , параллельная плоскостихОу, пересекает гиперболический параболоид по гиперболе (рис.3.18, а)
. (5.38)
Если , то эти уравнения можно переписать в виде
.
Это гипербола, расположенная в плоскости с центром в точке, действительная ось которой параллельна осиОх, а мнимая – параллельна осиОу.
Если , то уравнения линии сечения можно представить в виде
.
Это гипербола, расположенная в плоскости с центром в точке, действительная ось которой параллельна осиОу, а мнимая – параллельна осиОх. Асимптоты всех гипербол, получающихся при пересечении гиперболического параболоида (5.37) плоскостями,, параллельны прямым, по которым этот параболоид пересекается с плоскостью.
Рис. 3.18
Плоскость xOz пересекает гиперболический параболоид по параболе (рис.3.18, б)
, (5.39)
а плоскость – по параболе
. (5.40)
Таким образом, числа p и q являются параметрами парабол, получающихся в сечении гиперболического параболоида (5.37) его главными плоскостями.
Рассмотрим сечения гиперболического параболоида (5.37) плоскостями, параллельными плоскости (рис.3.18, б), т.е. плоскостями, выраженными уравнением.
Уравнения линии сечения имеют вид
, или .
Эти уравнения выражают параболу с вершиной в точке , ось которой выражается уравнениями,у = 0, а направление оси совпадает с отрицательным направлением оси Oz. Параметр параболы
(5.41)
равен q, т.е. параметру главного сечения (5.40) гиперболического параболоида плоскостью yOz (t = 0).
Таким образом, гиперболический параболоид может быть образован параллельным переносом параболы (5.41), при котором вершина параболы (5.41) перемещается по параболе (5.39); плоскость параболы (5.39) перпендикулярна плоскости параболы (5.41), а оси этих парабол параллельны и противоположно направлены (рис.3.18, б).
Аналогичная картина получается и для сечений гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости xOz.
Гиперболический параболоид называют иногда седлообразной поверхностью.
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Аналитическая геометрия
- Глава 1 линии, поверхности и их уравнения
- §1. Линия на координатной плоскости
- §2. Поверхность в геометрическом пространстве
- §3. Линия в геометрическом пространстве
- §4. Алгебраические линии и поверхности
- 4.1. Алгебраические линии на плоскости
- 4.2. Алгебраические поверхности
- §5. Полярная система координат на плоскости и в пространстве
- 5.1. Полярная система координат на плоскости
- 5.2. Полярная система координат в пространстве. Цилиндрические и сферические координаты
- Глава 2 прямая линия на плоскости
- §1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- §2. Общее уравнение прямой
- §3. Параметрические уравнения прямой
- §4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- §5. Уравнение прямой в отрезках
- §6. Угловой коэффициент прямой
- §7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- §8. Взаимное расположение двух прямых
- §9. Нормальное уравнение прямой
- §10. Расстояние от точки до прямой
- §11. Угол между двумя прямыми; условия коллинеарности и перпендикулярности двух прямых
- Глава 3
- §3. Условия перпендикулярности и компланарности вектора и плоскости, заданной общим уравнением
- §4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой
- §5. Уравнение плоскости в отрезках
- §6. Взаимное расположение двух плоскостей
- 6.1. Условие пересечения двух плоскостей и угол между ними
- 6.2. Условие параллельности двух плоскостей
- 6.3. Условие совпадения двух плоскостей
- §7. Взаимное расположение трех плоскостей
- §8. Нормальное уравнение плоскости
- §9. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
- §10. Расстояние от точки до плоскости
- Глава 4 прямая и плоскость в трехмерном пространстве
- §1. Уравнения прямой в трехмерном пространстве
- 1.1. Канонические и параметрические уравнения прямой
- 1.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- 1.3. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общее уравнение прямой
- §2. Угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве
- §3. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
- §4. Расстояние от точки до прямой в трехмерном пространстве
- §5. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
- §6. Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
- Глава 5 линии и поверхности второго порядка
- §1. Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- 1.1. Эллипс
- 1.2. Гипербола
- 1.3. Парабола
- §2. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему (каноническому) виду
- §3. Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравненниями
- 3.1. Эллипсоид
- 3.2. Однополостный гиперболоид
- 3.3. Двуполостный гиперболоид
- 3.4. Конус второго порядка
- 3.5. Эллиптический параболоид
- 3.6. Гиперболический параболоид
- 3.7. Цилиндры второго порядка
- §4. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
- Упражнения