§7. Взаимное расположение трех плоскостей

Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат x, y, zзаданы три плоскости общими уравнениями

(3.17)

На основании предыдущего получаем следующие необходимые и достаточные условия взаимного расположения трех плоскостей.

1. Если определитель основной матрицыне равен нулю, то три данные плоскости имеют и притом только одну общую точку, так как в случаесистема (3.17) имеет и притом только одно решение: это решение, т.е. координаты единственной общей точки, принадлежащей трем данным плоскостям, мы получим, решив систему (3.17) (например, по формулам Крамера).

2. Если , а ранграсширенной матрицыравен трем и среди нормальных векторов,инет коллинеарных, то система несовместна (>); плоскости попарно пересекаются, причем прямые пересечения попарно различны.

3. Если ,, и среди нормальных векторов,иесть два коллинеарных (все три не могут быть коллинеарны, так как), то система несовместна; причем две плоскости параллельны, а третья их пересекает.

4. Если ,и среди нормальных векторов,инет коллинеарных, то плоскости попарно различны и проходят через одну прямую.

5. Если ,и среди нормальных векторов,иесть два коллинеарных, то две плоскости совпадают, а третья их пересекает.

6. Если , но коэффициенты любой пары уравнений (3.17) непропорциональны, то плоскости попарно параллельны.

7. Если , но среди уравнений (3.17) есть только два уравнения, коэффициенты которых пропорциональны, то две плоскости совпадают, а третья им параллельна.

8. Если , т.е. коэффициенты всех уравнений пропорциональны, то все плоскости совпадают.