§5. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Углом между прямой и плоскостью(если они не перпендикулярны) называется меньший из двух углов между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если же прямая и плоскость перпендикулярны, то угол между ними считается равным.

Ортогональной проекцией прямой на плоскость называется прямая, образованная пересечением данной плоскости с плоскостью, проходящей через данную прямую перпендикулярно данной плоскости.

Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат задана плоскость общим уравнением

(4.8)

и прямая – каноническими уравнениями

. (4.9)

Обозначим угол между прямой и плоскостью через , а угол между нормальным вектором, перпендикулярным данной плоскости, и направляющим векторомданной прямой – через(рис.3.7).

Тогда (рис. 3.7, а) или(рис. 3.7, б), а. Но косинус угламежду векторамииравен

,

следовательно, синус угла между данной прямой и данной плоскостью определяется по формуле

.

Рис. 3.7

Если прямая (4.9) перпендикулярна плоскости (4.8), то направляющий вектор прямой коллинеарен вектору, перпендикулярному данной плоскости. Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е. существует такое отличное от нуля число, что

,

или

.

Обратно, если выполнены эти соотношения, то векторы иколлинеарны, т.е. направляющий вектор данной прямой коллинеарен вектору, перпендикулярному данной плоскости, следовательно, данная прямая и плоскость взаимно перпендикулярны.

Итак, для того, чтобы прямая и плоскость, заданные относительно декартовой прямоугольной системы координат, были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы координаты направляющего вектора прямой были пропорциональны коэффициентам при x, y, zв уравнении плоскости.