Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Неоднородными линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка называются уравнения вида: (1)

Где - некоторые заданные функции.

Каждому линейному неоднородному уравнению можно подставить в соответствие однородное уравнение приравняв правую часть к 0 (2)

Теорема: Если известно какое-либо частное решение Y неоднородного уравнения (1) то общее решение дифференциального уравнения (1), складывается из частного решения Y и фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения (2).

Доказательство:

Обозначим, левая часть уравнения 1 , можно переписать тогда

так как - решение уравнения (1), То подставим вместо у Y , получим . Перейдем в уравнении (1) к новой переменной Z. и дифференциальное выражение (1) можно представить в виде: .

Используя свойство линейности оператора L : .

Таким образом приходим к линейному однородному уравнению .

Если - фундаментальная система решения однородного уравнения , то функцию z можно представить в виде: при этом функция y принимает значение (3)

Покажем, что выражение (3) действительно является общим решением уравнения (1), для этого необходимо показать, что для любого начального условия , можно подобрать коэффициенты , так чтобы полное частное решение удовлетворяло начальным условиям.

Выпишем производные до (n-1) порядка

(3’)

Подставим в левую часть (3’) начальное условие, а в правой части значение ,получим:

(4)

Систему (4) можно рассмотреть как систему линейных уравнений относительно неизвестных .

Корневой определитель этой системы является определителем Вронского, вычисленным в точке . Следовательно, система (4) является совместной определенной, то есть выражение (3) действительно определяет общее решение уравнения (1). Теорема доказана.