Ряды Фурье
Рассмотрим ряд Макларена:
…+ …
Ряд Макларена можно рассматривать, как разложении функции по бесконечномерному базису: при этом коэффициенты ряда Макларена обеспечивают наилучшее приближение функции, соответствующие частичной суммы. Как было показано в алгебре, особую роль играют ортогональные базисы.
Определение: Функции называются ортогональными на отрезке , если выполняются условия:
.
Исторически первой и наиболее важной системой ортогональной функции на отрезке , явилась функция:
Покажем, что система уравнений (1) образована из попарно ортогональных функций.
1.
Таким образом показали, что система функций (1) попарно ортогональна. Из курса линейной алгебры известно, если вектор x разложить по ортогональному базису:
- ортогональный базис. По координатам вектора x можно вычислить по следующему соотношению.
Умножим скалярно разложения (2) на вектор . В силу соотношения (*) получим
Теорема: Если функция f(x) периодическая с периодом частично монотонная и ограниченная, то она разлагается в ряд по функциям системы (1)
Этот ряд называется тригонометрическим (рядом Фурье) в точках непрерывности функции f(x) значение ряда совпадает с соответствующим значением функции f(x).
Если С – точка разрыва функции, f(x), S(x),- сумма тригонометрического ряда.
То
Получим выражение для коэффициентов ряда Фурье, для периодической функции f(x)
(4)
Выражение (4) называется тригонометрическим рядом, или рядом Фурье.
В соответствии с соотношением (3) для определения коэффициента , умножим обе части выражения (4) на (1), затем вычислим интегралы на отрезке от , то в силу ортогональности функции (1) получим
Для определения коэффициента умножим обе части соотношения (4) на (как было показана ранее 2-ой интеграл)
Для определения величин умножим обе части соотношения (4) на . После интегрирования на отрезке получаем: .
Если - периодическая функция, с периодом , то для её разложения в ряд Фурье, выполним замену так, чтоб вспомогательная функция имела период .
, видим, что
Выполним замену переменной
Получим выражение для коэффициентов
Вычисляем по формуле (5)
- Дифференциальные уравнения.
- Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- Элементарные методы интегрирования (оду первого порядка)
- I. Дифференциальное уравнение первого порядка не содержащее явно искомую функцию.
- II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- III. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- IV. Уравнение Бернулли:
- V. Уравнения полных дифференциалов:
- Особые точки
- Особые решения
- Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
- Автономное уравнение второго порядка
- Линейные однородные уравнения n-го порядка
- Определитель Вронского
- Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- Метод вариации постоянных
- Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- Геометрический смысл системы уравнений первого порядка
- Первые интегралы
- Линейные системы с постоянными коэффициентами
- Устойчивость положения равновесия (устойчивость по первому приближению)
- Сравнение рядов с положительными членами
- Расходимость гармонического ряда
- Радикальный признак Коши, сходимости рядов с положительными членами
- Интегральный признак Коши сходимости рядов с положительными членами
- Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.
- Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- Действия над сходящимися рядами
- Умножение абсолютно сходящихся рядов
- Функциональные ряды
- Критерии Коши равномерной сходимости функционального ряда
- Функциональная последовательность
- Свойства равномерно сходящихся функций последовательностей
- Свойство равномерно сходящихся рядов
- Признак Вейерштрасса
- Степенные ряды. Радиус сходимости
- Теорема Абеля
- Свойство сторонних рядов
- Ряды Тейлора и Маклорена
- Вычисление определенных интегралов
- Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- Ряды Фурье
- Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
- Разложение в ряд Фурье непериодической функции
- Интеграл Фурье