Сравнение рядов с положительными членами

Имеем 2 ряда с положительными членами.

(1)

(2)

Теорема: Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2) и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство: В силу условий теорема имеем место неравенство:

Обозначим через частичную сумму ряда (1) частичную сумму ряда (2). В силу неравенства (3) заключается, что частичная сумма меньше или равна частичной сумме . Т.к. ряд сходится, то существует предел при , обозначим через , т.к. члены рядов 2 положительны, то имеет место неравенство: , откуда следует, что частичная сумма . Т.о. члены ряда (1) положительны, то последовательность частичных сумм возрастает. Согласно теореме первого курса, возрастающая и ограниченная сверху последовательность, имеет предел => . Т.о. показали, что ряд (1) сходится.

Пример: Используя сформулированную теорему установить сходимость или расходимость ряда.

Выпишем вспомогательный ряд:

Видим, что члены вспомогательного ряда не меньше членов исходного ряда. Видим, что вспомогательный ряд сходится. Т.к. отбросили первый член, получим сходящуюся последовательность. Согласно теореме, вытекает сходимость исходного ряда.

Теорема: Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2) и ряд (2) расходится, то ряд (1) также расходится.

Доказательство: Согласно условию теоремы

(4)

Из соотношения (4) вытекает, что . Т.к. ряд (2) расходится и состоит из положительных членов, то . Т.о. переходя в неравенство (5) .

Теорема: Придельный признак сравнения. Если члены рядов (1), (2) удовлетворяют соотношению , где , то ряды (1), (2) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: Фиксируем произвольное положительное число , согласно определению предела последовательности для заданного числа найдется номер N, такой, чтобы для всех выполнялось неравенство:

Замечаем, что N конкретное значение, выберем значение m– минимальную величину из величин.

Тогда соотношение соответствующих членов рядов (1), (2) будет удовлетворять неравенству:

, откуда вытекает, что

(6)

Замечаем, что если ряд (2) сходится, то будет сходиться и ряд

Исходя из равенства (6) вытекает сходимость ряда (1). Если ряд (2) расходится, то будет расходиться и , откуда в силу левого неравенства (6) из теоремы о сравнении, следует расходимость ряда (1).

Если известен вопрос о сходимости ряда (1), то чтобы сделать вывод о сходимости ряда (2) достаточно рассмотреть:

Признак сходимости ряда: Если ряд сходится то каждый n-ый член ряда стремится к о при n стремящемся к бесконечности.

Доказательство: Так как ряд1 сходится, то существует предел его предельных значений при

C учетом (2), (3), законы что

На сходимость ряд n-ий член которого определяется выражением :

расходиться.