Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Определение: Ряд вида (1) называется знакочередующимся, если величины

Теорема: Если члены знакочередующегося ряда (1) удовлетворяют неравенству и (3), то знакочередующийся ряд сходится, его сумма положительна и не превышает величины первого члена ряда.

Доказательство: Рассмотрим четную частичную сумму ряда (1) используя ассоциативность сложения расставим скобки в четной частичной сумме:

Исходя из неравенства (2) следует, что каждая скобка строго положительна с увеличением номера m четная частичная сумма возрастает.

Видим, что в последней частичной сумме каждая ( ) также положительна, следовательно частичная сумма , таким образом видим, что последовательность четных частичных сумм возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Обозначим этот предел , покажем, что последовательность нечетных частичных сумм стремится к S. Каждую нечетную частичную сумму можно представить в виде: . В силу условия (3), переходя к пределу получим: . Таким образом, теорема доказана. Проиллюстрируем теорему Лейбница геометрически. Будем откладывать частичные суммы на числовой оси.

С увеличением n, частичные суммы приближаются к S. Причем четная сумма приближается слева (возрастая), а нечетная приближается справа (убывая). Теорема Лейбница легко позволяет оценить погрешность от замены суммы ряда, частичной суммой.

Отбросим от знакочередующегося ряда первые n членов, также получим знакочередующийся ряд. Если этот ряд удовлетворяет теореме Лейбница, то его сумма будет не больше (n+1)-члена, рассматриваемого ряда ( по абсолютной величине). Например: рассмотрим ряд : члены этого ряда удовлетворяют неравенству: , . Видим, что для выписанного ряда выполняются все условия теоремы Лейбница, следовательно, этот ряд сходится. Частичная сумма ряда равна: . .