Интеграл Фурье

Если функция абсолютно интегрируема на , то есть , и кусочно гладка на каждом конечном отрезке действительной оси, то она представляется в виде интеграла Фурье.

= , где

Преобразование (6), которое будем обозначать , называют прямым, а (5) – обратным преобразованием Фурье, выраженным в комплексной форме. В действительной форме эти преобразования записывают в виде:

,

(прямое) и

(обратное), .

Если функция четная, то (7) и (8) записываются в следующей симметрической форме:

=

и

И называется парой косинус - преобразований Фурье. Если же нечетная, то имеем пару синус – преобразований Фурье.

=

и

Пример:

Найти преобразование Фурье для функции , a>0. подставляя заданную в (6) получаем:

=

= , a>0.

Подставляя это выражение в (5), получим:

= .

Последнее равенство следует из того, что

.

Пример:

Найти преобразование Фурье для функции

.

Так как функция четная, получим пару косинус – преобразований Фурье. Потому воспользуемся формулами (9) и (10). Используя результат задачи 8.192 получим: