Умножение абсолютно сходящихся рядов

Пусть заданы два знакопеременных ряда.

Теорема: если ряды (1) и (2) сходятся абсолютно, то ряд

Также абсолютно сходится, причем имеет место равенство: где,

-сумма ряда (1)

сумма ряда (2)

сумма ряда (3)

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда ряды (1) и (2) состоят из положительных членов, в этом случае члены ряда (3) также положительны, следовательно, последовательность частичных сумм , возрастает с возрастанием номера n заметим, что для любого номера n, можно подобрать такой номер m, что члены ряда (3), входящую в частичную сумму , будут присутствовать в произведении , следовательно, имеет место неравенство, . Так как ряды (1) и (2) состоят из положительных членов, то имеет место неравенство , . Откуда вытекает, что , ограничена сверху. Так как последовательность возрастает и ограничена сверху, то имеет предел переходя в неравенстве к пределу, получим рассмотрим произведение частных сумм ряда (1), (2) , для выбора нового номера n, , можно указать такой номер m, что все слагаемые произведения будут являться членами частичной суммы , следовательно имеет место неравенство

Сравнивая неравенство (5), (6), что

Пусть теперь ряды (1) и (2) знакопеременные, абсолютно сходящиеся ряды, следовательно сходятся ряды.

Согласно доказанному заключаем, что сходится ряд

(3) сходится абсолютно, осталось доказать, что . Выпишем члены ряда (3) бесконечной прямоугольной таблицы.

Поскольку ряд (3) сходится абсолютно, то можно представлять его члены, выпишем ряд (3), записав его члены, идя по квадратам выписанной таблицы.

Обозначим выписанные слагаемые через и тд, подберем числа n и m так, чтобы выполнялось равенство: , заметим, что:

.

Таким образом замечаем, что частичная сумма при , переходя к пределу, получим: . Так как ряд (3) сходится, то предел его частичной суммы является единственным, из единственности предела вытекает справедливость соотношения . При любом способе стремления номера n к бесконечности. Теорема доказана.

Пример: Вычислить сумму ряда.

Исходя из выписанных членов ряда, замечаем, что это ряд можно представить как произведение на себя ряда: . Последний ряд является суммой геометрической прогрессии, известно, что он сходится, если и его сумма равна: , согласно доказанной теореме, следует, что рассматриваемый ряд сходится и его сумма равна .