Первые интегралы

Рассмотрим для определенности систему трех уравнений первого порядка:

Определение: Всякое соотношение вида

Обязаны тождественно удовлетворять для решения системы уравнений.

Значение первого интеграла дает возможность понизить число уравнений в системе на 1. Так если из (4) выразить и поставить в уравнение системы, то получим систему из двух уравнений первого порядка, с двумя неизвестными функциями . Если её проинтегрировать, то находиться без интегрирования из равенства (4). Аналогичным образом значение двух независимых первых интегралов позволит понизить число уравнений на 2, а три независимых первых интеграла дают общее решение системы записанной в неявной форме.

Иногда первые интегралы удается найти выводя из заданных уравнений системы интегрируется комбинации, например, для системы:

В некоторых случаях первые интегралы находят из физических соображений.

Если в одном из первых интегралов (5)

На место подставим какое–либо решение системы: то левая часть обратиться в функцию от x , тождественно левую постоянной. Дифференцируя, обе части тождества по x получим:

- решение системы, то производные можно заменить в силу нормальной формы системы:

Таким образом, левая часть каждого первого интеграла удовлетворяет соотношению (7)

Пусть обратно, некоторая функция обращает уравнение (7) в тождество. Тогда вдоль любой интегральной кривой системы имеет место равенство (6), а следовательно и равенство (5). То есть вдоль каждой интегральной кривой функция принимает постоянное значение.

Вывод: Равенство (7) есть необходимое и достаточное условие, для того чтобы уравнение (5) представляло первый интеграл. Если система уравнений задается в интегральном виде:

И первый интеграл этой системы, то уравнение (6) запишется в виде:

Вдоль интегральной кривой , пропорционален следуя аналогично (7) , будет являться соотношением: