Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков

В самом общем виде обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка можно представить в виде: . Если уравнение (1) можно разрешить относительно старшей производной, то дифференциальное уравнение n-ого порядка: . Для дифференциального уравнения также справедлива теорема существования и единственности (теорема Коши).

Теорема: уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, правая часть которого непрерывна по всем своим аргументам и удовлетворяет условиям Либщепца имеет единственное решение , удовлетворяющее начальным данным .

Либшипцевость функции в данном случае означает, что в рассматриваемой области , . Для рассматриваемых двух наборов значений: , . Принадлежащей области R существует положительное число к, такое что выполняется неравенство: - . Общее решение дифференциального уравнения первого порядка зависит от n произвольных констант. Общее решение можно представить в виде : .

Единственность решения может быть установлено заданием начальных условий: и такая задача, называется задачей Коши. Кроме решения задачи Коши, на практике рассматриваются также другие условия, позволяющие устанавливать единственные решения:

Пример:

При рассмотрении дифференциального уравнения второго порядка: , общее решение представляется в виде: и единственное решение может определяться из условий: , . Условие (3) задает значение функции на концах рассматриваемого отрезка . Условия (3) называются краевыми условиями, а задачи о нахождении единственного решения, удовлетворяющие условию (3), называются краевыми задачами.

Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающие понижение порядков

I. Если в уравнение (1) не входит искомая функция у. то есть, если уравнение имеет вид: , то порядок уравнения можно понизить взяв в качестве новой функции , где к - наименьший порядок производной, входящий в дифференциальное уравнение. Тогда , .

Пример:

, , , .

, , , .

.

II. Если в дифференциальное уравнение (1) не входят явно независимые переменные х. . Уравнения такого типа называется автономными. В этом случае для понижения порядка дифференциального уравнения в качестве новой неизвестной функции рассматривают , в качестве независимой переменной рассматривается величина у, то есть ищется функция , при этом . Таким образом вторая производная определяется соотношением: .

Вычислим величину третей производной:

Находим производные до n-ого порядка включительно.

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: . Видим, что уравнение не содержит переменной х, то есть является автономным.

, , в результате чего придем к дифференциальному уравнению первого порядка: . .

, , .

III. Порядок дифференциального уравнения понижается. Если дифференциальное уравнение однородно, относительно функции у и ее производных, то есть если дифференциальное уравнение не меняется при замене , , в этом случае порядок дифференциального уравнения понижается введением новой функции .

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение .

. Вводим новую функцию: , тогда , = . Подставляя найденные выражения в дифференциальное уравнение, получим: ,

IV. порядок дифференциального уравнения понижается, если оно является однородным относительно х, у в обобщенном смысле, то есть не меняется при замене , , . В этом случае дифференциальное уравнение приводится к автономной замене , где z – новая независимая функция переменной t, t – новый независимый аргумент.

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение , . Выпишем показатели к, встречающиеся в каждом слагаемом: m+2=2m=4, m=2. Таким образом, мы должны сделать замену переменной , такая замена переменной называется точечной. Точка .

Преобразуем исходное дифференциальное уравнение с помощью выписанного дифференциального уравнения: