Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Если дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами вида , то его решение всегда может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Однако в случае специальных частей функции , частное решение уравнения (1) находится методом неопределенных коэффициентов. Заметим, что если дифференциальное уравнение представляется в виде: , то частное решение уравнения (2) можно искать в виде: , где -частное решение уравнения , а является частным решением .

Рассмотрим способ нахождения частных решений с правыми частями вида:

- многочлен от (х) в степени m.

С учетом сделанного замечания достаточно уметь находить частные решения уравнения с правыми частями, вида . Рассмотрим простейший случай соотношения (4). Пусть дифференциальное уравнение имеет вид: . Будем искать решение этого уравнения в виде: , , . . подставляя выписанное выражение в дифференциальное уравнение, получим: , где через F обозначим характеристический многочлен рассматриваемого дифференциального уравнения, с учетом выражения (5) найдем частное решение в виде: . Замечаем, что пользоваться соотношением (5’) можно тогда, когда не является корнем характеристического многочлена.

Рассмотрим случай, когда является корнем характеристического многочлена. Для этого поступим аналогично нахождению решений в случае кратных корней. Пусть

является корнем характеристического многочлена, а величина - не является таким корнем, тогда выражение вида: , является решением рассматриваемого дифференциального уравнения. Будем изменять дифференциальное уравнение так, чтобы величина стремилась к , при этом в числителе и знаменателе выражения (6) при вычислении предела 0. Вычислим предел от соотношения (6): . Таким образом, замечаем, что если является корнем характеристического многочлена, то ему соответствует решение вида: , если является корнем кратности 2, то аналогично можно показать, что решение будет иметь вид: . В более общих случаях правых частей соотношения (4) можно показать, что частные решения при отсутствии совпадения корней примет вид: , где -некоторый многочлен в степени m. Если является корнем характеристического многочлена кратности r, то решение примет вид: .

Материал, изложенный на прошлой лекции позволяет находить частные решения линейных, неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами, которые имеют вид:

,

- некий многочлен степени м, поскольку , то величина может быть представлена в виде:

Используя выражение для и sin можем преобразовать правое выражение:

Таким образом получили выражение, рассмотренное на прошлой лекции. На практике для нахождения частного решения с правыми частями указанного вида обычно используют шаблон:

(1)

При условии, что не является корнем характеристического многочлена, если является корнем характеристического многочлена, кратности r, то используется шаблон

(2)

Пример:

Находим общее решение соответствующего однородного уравнения.

1)

Общее решение однородного уравнения может быть записано в виде:

a)

б)

Рассмотрим уравнение (а). Должны искать решение в виде:

Подставляем в уравнение:

Частное решение будет равно:

Рассмотрим теперь уравнение (б).

не является корнем характеристического многочлена и следовательно:

Записываем общее решение исходного уравнения:

Пример:

Найти общее решение уравнения:

1)Находим общее решение однородного уравнения:

, ,

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Видим, что ( ) не является корнем характеристического уравнения и следовательно частное решение данного уравнения можно записать в виде:

Сокращаем обе части на и приравниваем коэффициенты при равных выражениях: