Линейные системы с постоянными коэффициентами
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
(1)
Как отмечалось ранее каждая система (1) может быть сведена к одному уравнению n-го порядка. При рассмотрении системы (1) получается линейные уравнения n-го порядка, с постоянными коэффициентами. Разрешив уравнение n-го порядка можно выписать решение системы (1) и в матричном виде:
Где
Из курса линейной алгебры известно, что всякая квадратная матрица А может быть приведена невырожденными линейными преобразованиями к Жордановой форме
Определение: Жордановой формой матрицы называется матрица у которой по главной диагонали расположены Жордановы точки а все остальные элементы равны нулю:
Жордановой клеткой k-го порядка называется матрица вида
По главной диагонали расположены соответственные значения а на параллельной ей диагонали единицы. Остальные элементы – нули. Жорданова клетка 1-ого порядка состоит из одного числа
2-го порядка
3-го порядка и т. д.
Вопрос о решении системы (1) может быть решен привидением матрицы A к Жордановой форме. Существенную роль при этом играют собственные значения и собственные вектора. Продемонстрируем соответствующую технику на конкретных примерах:
Пример 1:
C=
0
=0
~
z=0
x-y=0, x=y
у=0
x=-z
х=0
z=2y
=
= =
Проверка:
Т=
=
=
Т
=
=
= =
= + +
Пример 2:
=
0
у=0
x=z
=
= + +
=
= = +
= +
= + +
Пример 3:
=
0
у=z
x=z
у=0
x=z
у=-1+z
x=1+z
,
=
=
=
=
= + +
Пример 4:
y=2x
x=-y
= +
= + - +
+ - + = +
+ =
=
= + + = + +
- Дифференциальные уравнения.
- Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- Элементарные методы интегрирования (оду первого порядка)
- I. Дифференциальное уравнение первого порядка не содержащее явно искомую функцию.
- II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- III. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- IV. Уравнение Бернулли:
- V. Уравнения полных дифференциалов:
- Особые точки
- Особые решения
- Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
- Автономное уравнение второго порядка
- Линейные однородные уравнения n-го порядка
- Определитель Вронского
- Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- Метод вариации постоянных
- Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- Геометрический смысл системы уравнений первого порядка
- Первые интегралы
- Линейные системы с постоянными коэффициентами
- Устойчивость положения равновесия (устойчивость по первому приближению)
- Сравнение рядов с положительными членами
- Расходимость гармонического ряда
- Радикальный признак Коши, сходимости рядов с положительными членами
- Интегральный признак Коши сходимости рядов с положительными членами
- Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.
- Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- Действия над сходящимися рядами
- Умножение абсолютно сходящихся рядов
- Функциональные ряды
- Критерии Коши равномерной сходимости функционального ряда
- Функциональная последовательность
- Свойства равномерно сходящихся функций последовательностей
- Свойство равномерно сходящихся рядов
- Признак Вейерштрасса
- Степенные ряды. Радиус сходимости
- Теорема Абеля
- Свойство сторонних рядов
- Ряды Тейлора и Маклорена
- Вычисление определенных интегралов
- Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- Ряды Фурье
- Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
- Разложение в ряд Фурье непериодической функции
- Интеграл Фурье