Особые точки

Рассмотрим случай, когда нарушается условие а) теоремы о существовании решения. Пусть функция неограниченна в точке , при этом необходимо рассмотреть 2 случая:

1)

В этом случае функция , при . Доопределим эту функцию в т. нулевым значением, тогда дифференциальное уравнение первого порядка можно рассматривать как дифференциальное уравнение функции х, зависящей от у: в этом случае функция, стоящая справа, удовлетворяет условиям теоремы существования. При этом касательная к интегральной кривой будет располагаться перпендикулярно оси х. Других особенностей в точке в этом случае не будет..

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида : . Видим, что в указанной точке нарушается непрерывность. Функция, стоящая справа, стремится к бесконечности. Рассматривая обратную функцию, получим: , откуда , подставляя начальные условия, найдем решение в виде: -парабола.

Функция не ограничена и не имеет предела при стремлении к точкам . В качестве примера такой функции, рассмотрим функцию , . При изучении непрерывности функции многих переменных показывали, что эта функция не имеет предела в точке (0, 0). Видим, что переходя к обратной функции не сможем ликвидировать особую точку, так как получим выражение такого же вида. В этом случае точка является особой точкой дифференциального уравнения. Поведение интегральных кривых около особой точки (0,0) зависит от величины параметров: а, b, c, k.