Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т (b-a), совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2 ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2 , то функция продолжается на интервал (b, a + 2 ) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2 может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
- Дифференциальные уравнения.
- Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- Элементарные методы интегрирования (оду первого порядка)
- I. Дифференциальное уравнение первого порядка не содержащее явно искомую функцию.
- II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- III. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- IV. Уравнение Бернулли:
- V. Уравнения полных дифференциалов:
- Особые точки
- Особые решения
- Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
- Автономное уравнение второго порядка
- Линейные однородные уравнения n-го порядка
- Определитель Вронского
- Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- Метод вариации постоянных
- Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- Геометрический смысл системы уравнений первого порядка
- Первые интегралы
- Линейные системы с постоянными коэффициентами
- Устойчивость положения равновесия (устойчивость по первому приближению)
- Сравнение рядов с положительными членами
- Расходимость гармонического ряда
- Радикальный признак Коши, сходимости рядов с положительными членами
- Интегральный признак Коши сходимости рядов с положительными членами
- Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.
- Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- Действия над сходящимися рядами
- Умножение абсолютно сходящихся рядов
- Функциональные ряды
- Критерии Коши равномерной сходимости функционального ряда
- Функциональная последовательность
- Свойства равномерно сходящихся функций последовательностей
- Свойство равномерно сходящихся рядов
- Признак Вейерштрасса
- Степенные ряды. Радиус сходимости
- Теорема Абеля
- Свойство сторонних рядов
- Ряды Тейлора и Маклорена
- Вычисление определенных интегралов
- Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- Ряды Фурье
- Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
- Разложение в ряд Фурье непериодической функции
- Интеграл Фурье