Метод вариации постоянных

Теорема: Если известно фундаментальная система решений соответствующего линейного уравнения (2), то общее решение линейного неоднородного уравнения (1) выражается в квадратурах.

Доказательство: (6)

Продифференцируем (6) по x, в результате получим:

При этом первая производная будет выражаться соотношением: (6’)

Вычислим вторую производную функции y:

Наложим на функцию условие, (7)

Поступая аналогично, вычислим все производные до (n-1) порядка включительно.

(7’)

Вычислим затем n-ую производную:

(6’)

Подставляя (6) и (6’) в (1), найдем, (8)

Поскольку является фундаментальной системой решений, те удовлетворяет уравнению (2), то выражение, стоящее в круглых скобках = 0, добавим к системе (7) полученное уравнение (8). Переходим к системе линейных уравнений относительно производной:

(9)

Определитель Вронского отличен от 0, система (9) является совместно определенной

(10)

Находим: (11)

Подставляя (11) в (6), находим общее решение уравнения (1).

Линейно дифференциальное уравнение используя выражение , можно рассматривать, с точки зрения метода вариации произвольных постоянных ,так из 2 функций u.v одна является решением соответственно однородного уравнения.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

, Рассмотрим соответствующее однородное уравнение,

Будем искать общее решение методом вариации постоянных.

Получаем

- общее решение неоднородного уравнения

Заметим, что в случае общего линейного дифференциального уравнения 2 порядка

- однородное уравнение.

Понижение порядка не всегда позволяет решить уравнение.

Уравнение Рикати, и в общем случае оно не разрешимо в квадратурах.