Функциональные ряды

Пусть задана последовательность функций , определена на интервале . Если функциональный ряд . Сходится всегда, так как из интервала , то интервал называется областью сходимости ряда (2). В рассматриваемых точках из интервала , можно рассмотреть следующие функции:

-сумма ряда

-частичная сумма ряда.

- = -остаток ряда.

Сходимость ряда (2) в точках из интервала означает, что для любого положительного числа , можно указать номер N, такой, что для всех , будет выполняться неравенство: - < , . Если величина номера N зависит, как от величины , так и от точек из интервала , то говорят о поточечной сходимости ряда (2).

Если для заданной величины , можно указать номер N, пригодный для всех значений интервала , то говорят о равномерной сходимости ряда (2).

Пример: исследовать на равномерную сходимость ряда:

- -

На интервале , где - некоторое положительное число, замечаем, что члены выписанного ряда являются правильными дробями, члены этого ряда начиная со второго могут быть представлены в виде:

.

То есть разложили правильную дробь на сумму простейших дробей. С учетом полученных представлений можем записать последовательность частичных сумм в виде:

- =

.

Переходя к пределу получим: - =

Для установления равномерной сходимости ряда, воспользуемся неравенством (3) . Откуда следует, что или . Для того, чтобы рассмотреть поточечную сходимость ряда достаточно выбрать номер N= , в этом случае N зависит как от величины , так и от x. Однако замечаем, что если N= , то величина N будет пригодна для всех значений x из рассматриваемого интервала.

Рассмотренный пример в частности показывает, что из равномерной сходимости ряда вытекает его поточечная сходимость. На следующем примере покажем, что утверждение не справедливо.

Пример:

Рассмотрим ряд:

Замечаем, что частичная сумма этого ряда может быть записана в виде:

Исследуем сходимость ряда на отрезке , заметим, что на интервале - = . Для определения величины N воспользуемся выражением (3) . Логарифмируем полученное неравенство, получим . На рассматриваемом интервале отрицателен, следовательно . В случае поточечной сходимости, в качестве N можно взять величину: N= . Замечаем, что , следовательно нельзя найти номер, который был бы больше величины , для всех значений x из интервала . Следовательно, на интервале ряд сходится поточечно и не сходится равномерно. Покажем, что этот ряд сходится на граничных точках рассматриваемого интервала.

При х=0 получаем ряд: 0-0-0-0-0……

Частичная сумма , следовательно .

При х=1 получаем ряд: 1-0-0-0-0……

Частичная сумма , следовательно

Видим, что рассматриваемый ряд сходится поточечно на отрезке .