Характеристики вариационного ряда

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда. Укажем главные из них.

Модой Mo, называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Например, для ряда

мода равна 7.

В интервальных вариационных рядах распределения мода определяется по формуле

,

где — нижняя (минимальная) граница модального интервала; — величина интервала; — частота интервала, предшествующего модальному; — частота модального интервала; — частота интервала, следующего за модальным.

Медианой m_e называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т. е. n=2k+1, то m_e=x_k+1; при четном n=2k медиана m_e=(x_k+x_k+1)/2. Например, для ряда 2 3 5 6 7 медиана равна 5; для ряда 2 3 5 6 7 9 медиана равна (5+6)/2==5,5.

В интервальном вариационном ряду медиану определяют по формуле:

,

где — нижняя (минимальная) граница медианного интервала; — величина интервала; — половина суммы накопленных частот интервального ряда распределения; — сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному; — частота медианного интервала.

Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного ряда распределения исчисляют квартили, которые делят ранжированный ряд на 4 равные части, и децили, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей.

В интервальном вариационном ряду распределения нижний и верхний квартиль рассчитывают по следующим формулам:

нижний квартиль ;

верхний квартиль ,

где — нижние (минимальные) границы квартальных интервалов; — величина интервала; ; — сумма накопленных частот ряда распределения; и — накопленная частота интервала, предшествующего квартальному, соответственно для нижнего и верхнего квартилей; , и — частоты квартальных интервалов.

Квартальное отклонение , где и —соответственно нижний и верхний квартиль.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами: R=x_max – x_min. Например, для ряда 1 3 4 5 6 10 размах равен 10 – 1 =9. Размах является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.

Средним абсолютным отклонением  называют среднее арифметическое абсолютных отклонений:

,

здесь – объем выборки.

Среднее абсолютное отклонение служит для характеристики рассеяния вариационного ряда.

Коэффициентом вариации V называют выраженное в процентах отношение выборочного среднеквадратического отклонения  выборочной средней: .

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше. Коэффициент вариации – безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяния вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность, например если варианты одного ряда выражены в сантиметрах, а другого – в граммах.

Замечание. Выше предполагалось, что вариационный ряд составлен по данным выборки, поэтому все описанные характеристики называют выборочными; если вариационный ряд составлен по данным генеральной совокупности, то характеристики называют генеральными.