logo
645145

Критерий Пирсона проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Рассмотрим критерий Пирсона , основанный на интервальных оценках. Пусть x1,...,xn выборка из генеральной совокупности. По данной выборке нужно решить, является ли заданная функция F(x) функцией распределения изучаемой случайной величины. С этой целью разобьем числовую ось точками на m+1 непересекающихся интервалов и полуинтервалов:

Если величины xk имеют своей функцией распределения F(x), то можно найти вероятности:

,

,

Обозначим через число значений среди x1,...,xn , попавших в соответствующий интервал. Если наше предположение о законе распределения верно, то значения должны быть близки к M( )=npi= , . Общее отклонение всех ni от выражается равенством:

.

Известно, что если r - количество неизвестных параметров исследуемого распределения, то случайная величина имеет распределение с степенями свободы. Таким образом, критическое значение находят по таблице распределения с данным уровнем значимости при степенях свободы.

Таким образом, правило проверки, или статистический критерий, состоит в том, что гипотеза отвергается, если произошло событие и гипотеза не противоречит наблюдениям, если произошло противоположное событие (т.е. ).

В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому г =2 и число степеней свободы m=s – 3.

Если, например, предполагают, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр , поэтому r = 1 и m = s – 2.

Замечание/ Объем выборки должен быть достаточно велик, во всяком случае не менее 50. Каждая группа должна содержать не менее 5 – 8 вариант; малочисленные группы следует объединять в од, суммируя частоты.

Замечание 2. Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, в особенности если согласование теоретических и эмпирических частот “слишком хорошее”, следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число, наблюдений, воспользоваться другими критериями, построить график распределения, Вычислить асимметрию и эксцесс.