logo
645145

Эмпирическая функция распределения.

Определим для каждого действительного числа x случайную величину , равную числу элементов выборки x1, x2, ..., xk, значения которых не превосходят x, т.е. равно числу элементов множества { j| xj < x } и положим

.

Функция называется эмпирической функцией распределения, соответствующей данной выборке. Функцию распределения наблюдаемой случайной величины в этом случае называют теоретической функцией распределения. По своему определению эмпирическая функция распределения – случайная функция. Значениями функции являются числа и при этом .

Для каждой реализации x выборки X функция однозначно определена и обладает всеми свойствами функции распределения:

1) изменяется от 0 до 1,

2) не убывает и непрерывна справа.

Отметим также, что кусочно-постоянна.

Эмпирическая функция распределения – некоторая характеристика выборки. Эта функция играет фундаментальную роль в математической статистике. Важнейшее ее свойство состоит в том, что при увеличении числа испытаний над случайной величиной происходит сближение этой функции с теоретической функцией распределения изучаемого признака. Смысл этого утверждения раскрывает следующая теорема.

Теорема. Пусть - эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X и – соответствующая теоретическая функция распределения. Тогда для любого и для любого .

Таким образом, если объем выборки большой, то значение эмпирической функции распределения в каждой точке x может служить приближенным значением теоретической функции распределения в этой точке. Функцию - часто называют статистическим аналогом для .