Групповая, внутри групповая, межгрупповая и общая дисперсии

Допустим, что все значения количественного признака Х совокупности, безразлично – генеральной или выборочной, разбиты на k групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю и дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих j –ой группе (j=1,2,…,m), относительно групповой средней

,

где частота значения номер группы; – групповая средняя группы j; – объем группы j.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:

D_{внутригр.}=

где – объем всей совокупности.

Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней.

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней:

D_межгр.= ,

здесь – групповая средняя группы j.

Чтобы избежать путаницы в обозначениях, обычную дисперсии всей совокупности иногда называют общей дисперсией.

Замечание. Общая дисперсия всегда равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Этот факт имеет не только теоретическое, но и важное практическое значение. Например, если в результате наблюдений получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. С другой стороны, если совокупность имеет большой объем, то целесообразно разбить ее на несколько групп. В том и другом случаях непосредственное вычисление общей дисперсии заменяется вычислением дисперсий отдельных групп, что облегчает расчеты.