logo
645145

Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа

Вернемся к поставленной задаче: проверить при заданном уровне значимости нулевую гипотезу о равенстве нескольких средних нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями. Покажем, что решение этой задачи сводится к сравнению факторной и остаточной дисперсий по критерию Фишера—Снедекора.

1. Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких средних (далее будем называть их групповыми) правильна. В этом случае факторная и остаточная дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной генеральной дисперсии и, следовательно, различаются незначимо. Если сравнить эти оценки по критерию , то очевидно, критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних правильна, то верна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

2. Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних ложна. В этом случае с возрастанием расхождения между групповыми средними увеличивается факторная дисперсия, а вместе с ней и отношение . В итоге окажется больше и, следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних ложна, то ложна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Легко доказать от противного справедливость обратных утверждений: из правильности (ложности) гипотезы о дисперсиях следует правильность (ложность) гипотезы о средних.

Итак, для того чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий. В этом и состоит метод дисперсионного анализа.

Замечание 1. Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то уже отсюда следует справедливость гипотезы о равенстве групповых средних и, значит, нет надобности прибегать к критерию .

Замечание 2. Если нет уверенности в справедливости предположения о равенстве дисперсий рассматриваемых совокупностей, то это предположение следует проверить предварительно, например по критерию Кочрена.

Если число испытаний на каждом из уровней различны, а именно на , на , …, на , то используют следующие формулы:

,

где – сумма квадратов наблюдавшихся значений признака на уровне , – суммы наблюдавшихся значений признака на уровне , – общее число испытаний (объем выборки).

Таблица значений функции .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,3989

0,3989

0,3989

0,3988

0,3986

0,3984

0,3982

0,3980

0,3977

0,3973

0,1

0,3970

0,3965

0,3961

0,3956

0,3951

0,3945

0,3939

0,3932

0,3925

0,3918

0,2

0,3910

0,3902

0,3894

0,3885

0,3876

0,3867

0,3857

0,3847

0,3836

0,3825

0,3

0,3814

0,3802

0,3790

0,3778

0,3765

0,3752

0,3739

0,3725

0,3712

0,3697

0,4

0,3683

0,3668

0,3653

0,3637

0,3621

0,3605

0,3589

0,3572

0,3555

0,3538

0,5

0,3521

0,3503

0,3485

0,3467

0,3448

0,3429

0,3410

0,3391

0,3372

0,3352

0,6

0,3332

0,3312

0,3292

0,3271

0,3251

0,3230

0,3209

0,3187

0,3166

0,3144

0,7

0,3123

0,3101

0,3079

0,3056

0,3034

0,3011

0,2989

0,2966

0,2943

0,2920

0,8

0,2897

0,2874

0,2850

0,2827

0,2803

0,2780

0,2756

0,2732

0,2709

0,2685

0,9

0,2661

0,2637

0,2613

0,2589

0,2565

0,2541

0,2516

0,2492

0,2468

0,2444

1,0

0,2420

0,2396

0,2371

0,2347

0,2323

0,2299

0,2275

0,2251

0,2227

0,2203

1,1

0,2179

0,2155

0,2131

0,2107

0,2083

0,2059

0,2036

0,2012

0,1989

0,1965

1,2

0,1942

0,1919

0,1895

0,1872

0,1849

0,1826

0,1804

0,1781

0,1758

0,1736

1,3

0,1714

0,1691

0,1669

0,1647

0,1626

0,1604

0,1582

0,1561

0,1539

0,1518

1,4

0,1497

0,1476

0,1456

0,1435

0,1415

0,1394

0,1374

0,1354

0,1334

0,1315

1,5

0,1295

0,1276

0,1257

0,1238

0,1219

0,1200

0,1182

0,1163

0,1145

0,1127

1,6

0,1109

0,1092

0,1074

0,1057

0,1040

0,1023

0,1006

0,0989

0,0973

0,0957

1,7

0,0940

0,0925

0,0909

0,0893

0,0878

0,0863

0,0848

0,0833

0,0818

0,0804

1,8

0,0790

0,0775

0,0761

0,0748

0,0734

0,0721

0,0707

0,0694

0,0681

0,0669

1,9

0,0656

0,0644

0,0632

0,0620

0,0608

0,0596

0,0584

0,0573

0,0562

0,0551

2,0

0,0540

0,0529

0,0519

0,0508

0,0498

0,0488

0,0478

0,0468

0,0459

0,0449

2,1

0,0440

0,0431

0,0422

0,0413

0,0404

0,0396

0,0387

0,0379

0,0371

0,0363

2,2

0,0355

0,0347

0,0339

0,0332

0,0325

0,0317

0,0310

0,0303

0,0297

0,0290

2,3

0,0283

0,0277

0,0270

0,0264

0,0258

0,0252

0,0246

0,0241

0,0235

0,0229

2,4

0,0224

0,0219

0,0213

0,0208

0,0203

0,0198

0,0194

0,0189

0,0184

0,0180

2,5

0,0175

0,0171

0,0167

0,0163

0,0158

0,0154

0,0151

0,0147

0,0143

0,0139

2,6

0,0136

0,0132

0,0129

0,0126

0,0122

0,0119

0,0116

0,0113

0,0110

0,0107

2,7

0,0104

0,0101

0,0099

0,0096

0,0093

0,0091

0,0088

0,0086

0,0084

0,0081

2,8

0,0079

0,0077

0,0075

0,0073

0,0071

0,0069

0,0067

0,0065

0,0063

0,0061

2,9

0,0060

0,0058

0,0056

0,0055

0,0053

0,0051

0,0050

0,0048

0,0047

0,0046

3,0

0,0044

0,0043

0,0042

0,0040

0,0039

0,0038

0,0037

0,0036

0,0035

0,0034

3,1

0,0033

0,0032

0,0031

0,0030

0,0029

0,0028

0,0027

0,0026

0,0025

0,0025

3,2

0,0024

0,0023

0,0022

0,0022

0,0021

0,0020

0,0020

0,0019

0,0018

0,0018

3,3

0,0017

0,0017

0,0016

0,0016

0,0015

0,0015

0,0014

0,0014

0,0013

0,0013

3,4

0,0012

0,0012

0,0012

0,0011

0,0011

0,0010

0,0010

0,0010

0,0009

0,0009

3,5

0,0009

0,0008

0,0008

0,0008

0,0008

0,0007

0,0007

0,0007

0,0007

0,0006

3,6

0,0006

0,0006

0,0006

0,0005

0,0005

0,0005

0,0005

0,0005

0,0005

0,0004

3,7

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0003

0,0003

0,0003

0,0003

3,8

0,0003

0,0003

0,0003

0,0003

0,0003

0,0002

0,0002

0,0002

0,0002

0,0002

3,9

0,0002

0,0002

0,0002

0,0002

0,0002

0,0002

0,0002

0,0002

0,0001

0,0001

Таблица значений функции

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

0,00

0,0000

0,51

0,1950

1,02

0,3461

1,53

0,4370

2,04

0,4793

3,06

0,498893

4,08

0,499977

0,01

0,0040

0,52

0,1985

1,03

0,3485

1,54

0,4382

2,06

0,4803

3,08

0,498965

4,10

0,499979

0,02

0,0080

0,53

0,2019

1,04

0,3508

1,55

0,4394

2,08

0,4812

3,10

0,499032

4,12

0,499981

0,03

0,0120

0,54

0,2054

1,05

0,3531

1,56

0,4406

2,10

0,4821

3,12

0,499096

4,14

0,499983

0,04

0,0160

0,55

0,2088

1,06

0,3554

1,57

0,4418

2,12

0,4830

3,14

0,499155

4,16

0,499984

0,05

0,0199

0,56

0,2123

1,07

0,3577

1,58

0,4429

2,14

0,4838

3,16

0,499211

4,18

0,499985

0,06

0,0239

0,57

0,2157

1,08

0,3599

1,59

0,4441

2,16

0,4846

3,18

0,499264

4,20

0,499987

0,07

0,0279

0,58

0,2190

1,09

0,3621

1,60

0,4452

2,18

0,4854

3,20

0,499313

4,22

0,499988

0,08

0,0319

0,59

0,2224

1,10

0,3643

1,61

0,4463

2,20

0,4861

3,22

0,499359

4,24

0,499989

0,09

0,0359

0,60

0,2257

1,11

0,3665

1,62

0,4474

2,22

0,4868

3,24

0,499402

4,26

0,499990

0,10

0,0398

0,61

0,2291

1,12

0,3686

1,63

0,4484

2,24

0,4875

3,26

0,499443

4,28

0,499991

0,11

0,0438

0,62

0,2324

1,13

0,3708

1,64

0,4495

2,26

0,4881

3,28

0,499481

4,30

0,499991

0,12

0,0478

0,63

0,2357

1,14

0,3729

1,65

0,4505

2,28

0,4887

3,30

0,499517

4,32

0,499992

0,13

0,0517

0,64

0,2389

1,15

0,3749

1,66

0,4515

2,30

0,4893

3,32

0,499550

4,34

0,499993

0,14

0,0557

0,65

0,2422

1,16

0,3770

1,67

0,4525

2,32

0,4898

3,34

0,499581

4,36

0,499993

0,15

0,0596

0,66

0,2454

1,17

0,3790

1,68

0,4535

2,34

0,4904

3,36

0,499610

4,38

0,499994

0,16

0,0636

0,67

0,2486

1,18

0,3810

1,69

0,4545

2,36

0,4909

3,38

0,499638

4,40

0,499995

0,17

0,0675

0,68

0,2517

1,19

0,3830

1,70

0,4554

2,38

0,4913

3,40

0,499663

4,42

0,499995

0,18

0,0714

0,69

0,2549

1,20

0,3849

1,71

0,4564

2,40

0,4918

3,42

0,499687

4,44

0,499995

0,19

0,0753

0,70

0,2580

1,21

0,3869

1,72

0,4573

2,42

0,4922

3,44

0,499709

4,46

0,499996

0,20

0,0793

0,71

0,2611

1,22

0,3888

1,73

0,4582

2,44

0,4927

3,46

0,499730

4,48

0,499996

0,21

0,0832

0,72

0,2642

1,23

0,3907

1,74

0,4591

2,46

0,4931

3,48

0,499749

4,50

0,499997

0,22

0,0871

0,73

0,2673

1,24

0,3925

1,75

0,4599

2,48

0,4934

3,50

0,499767

4,52

0,499997

0,23

0,0910

0,74

0,2704

1,25

0,3944

1,76

0,4608

2,50

0,4938

3,52

0,499784

4,54

0,499997

0,24

0,0948

0,75

0,2734

1,26

0,3962

1,77

0,4616

2,52

0,4941

3,54

0,499800

4,56

0,499997

0,25

0,0987

0,76

0,2764

1,27

0,3980

1,78

0,4625

2,54

0,4945

3,56

0,499815

4,58

0,499998

0,26

0,1026

0,77

0,2794

1,28

0,3997

1,79

0,4633

2,56

0,4948

3,58

0,499828

4,60

0,499998

0,27

0,1064

0,78

0,2823

1,29

0,4015

1,80

0,4641

2,58

0,4951

3,60

0,499841

4,62

0,499998

0,28

0,1103

0,79

0,2852

1,30

0,4032

1,81

0,4649

2,60

0,4953

3,62

0,499853

4,64

0,499998

0,29

0,1141

0,80

0,2881

1,31

0,4049

1,82

0,4656

2,62

0,4956

3,64

0,499864

4,66

0,499998

0,30

0,1179

0,81

0,2910

1,32

0,4066

1,83

0,4664

2,64

0,4959

3,66

0,499874

4,68

0,499999

0,31

0,1217

0,82

0,2939

1,33

0,4082

1,84

0,4671

2,66

0,4961

3,68

0,499883

4,70

0,499999

0,32

0,1255

0,83

0,2967

1,34

0,4099

1,85

0,4678

2,68

0,4963

3,70

0,499892

4,72

0,499999

0,33

0,1293

0,84

0,2995

1,35

0,4115

1,86

0,4686

2,70

0,4965

3,72

0,499900

4,74

0,499999

0,34

0,1331

0,85

0,3023

1,36

0,4131

1,87

0,4693

2,72

0,4967

3,74

0,499908

4,76

0,499999

0,35

0,1368

0,86

0,3051

1,37

0,4147

1,88

0,4699

2,74

0,4969

3,76

0,499915

4,78

0,499999

0,36

0,1406

0,87

0,3078

1,38

0,4162

1,89

0,4706

2,76

0,4971

3,78

0,499922

4,80

0,499999

0,37

0,1443

0,88

0,3106

1,39

0,4177

1,90

0,4713

2,78

0,4973

3,80

0,499928

4,82

0,499999

0,38

0,1480

0,89

0,3133

1,40

0,4192

1,91

0,4719

2,80

0,4974

3,82

0,499933

4,84

0,499999

0,39

0,1517

0,90

0,3159

1,41

0,4207

1,92

0,4726

2,82

0,4976

3,84

0,499938

4,86

0,499999

0,40

0,1554

0,91

0,3186

1,42

0,4222

1,93

0,4732

2,84

0,4977

3,86

0,499943

4,88

0,499999

0,41

0,1591

0,92

0,3212

1,43

0,4236

1,94

0,4738

2,86

0,4979

3,88

0,499948

4,90

0,500000

0,42

0,1628

0,93

0,3238

1,44

0,4251

1,95

0,4744

2,88

0,4980

3,90

0,499952

4,92

0,500000

0,43

0,1664

0,94

0,3264

1,45

0,4265

1,96

0,4750

2,90

0,4981

3,92

0,499956

4,94

0,500000

0,44

0,1700

0,95

0,3289

1,46

0,4279

1,97

0,4756

2,92

0,4982

3,94

0,499959

4,96

0,500000

0,45

0,1736

0,96

0,3315

1,47

0,4292

1,98

0,4761

2,94

0,4984

3,96

0,499963

4,98

0,500000

0,46

0,1772

0,97

0,3340

1,48

0,4306

1,99

0,4767

2,96

0,4985

3,98

0,499966

5,00

0,500000

0,47

0,1808

0,98

0,3365

1,49

0,4319

2,00

0,4772

2,98

0,4986

4,00

0,499968

5,02

0,500000

0,48

0,1844

0,99

0,3389

1,50

0,4332

2,01

0,4778

3,00

0,4987

4,02

0,499971

5,04

0,500000

0,49

0,1879

1,00

0,3413

1,51

0,4345

2,02

0,4783

3,02

0,4987

4,04

0,499973

5,06

0,500000

0,50

0,1915

1,01

0,3438

1,52

0,4357

2,03

0,4788

3,04

0,4988

4,06

0,499975

5,08

0,500000

Таблица значений распределения

0,95

0,99

0,999

0,95

0,99

0,999

5

2,5706

4,0321

6,8685

45

2,0141

2,6896

3,5203

6

2,4469

3,7074

5,9587

50

2,0086

2,6778

3,4960

7

2,3646

3,4995

5,4081

55

2,0040

2,6682

3,4765

8

2,3060

3,3554

5,0414

60

2,0003

2,6603

3,4602

9

2,2622

3,2498

4,7809

65

1,9971

2,6536

3,4466

10

2,2281

3,1693

4,5868

70

1,9944

2,6479

3,4350

11

2,2010

3,1058

4,4369

75

1,9921

2,6430

3,4249

12

2,1788

3,0545

4,3178

80

1,9901

2,6387

3,4164

13

2,1604

3,0123

4,2209

85

1,9883

2,6349

3,4086

14

2,1448

2,9768

4,1403

90

1,9867

2,6316

3,4019

15

2,1315

2,9467

4,0728

95

1,9852

2,6286

3,3958

16

2,1199

2,9208

4,0149

100

1,9840

2,6259

3,3905

17

2,1098

2,8982

3,9651

105

1,9828

2,6235

3,3856

18

2,1009

2,8784

3,9217

110

1,9818

2,6213

3,3811

19

2,0930

2,8609

3,8833

115

1,9808

2,6193

3,3772

20

2,0860

2,8453

3,8496

120

1,9799

2,6174

3,3734

21

2,0796

2,8314

3,8193

125

1,9791

2,6157

3,3701

22

2,0739

2,8188

3,7922

130

1,9784

2,6142

3,3670

23

2,0687

2,8073

3,7676

135

1,9777

2,6127

3,3641

24

2,0639

2,7970

3,7454

140

1,9771

2,6114

3,3613

25

2,0595

2,7874

3,7251

150

1,9759

2,6090

3,3565

26

2,0555

2,7787

3,7067

160

1,9749

2,6069

3,3523

27

2,0518

2,7707

3,6895

170

1,9740

2,6051

3,3487

28

2,0484

2,7633

3,6739

180

1,9732

2,6034

3,3453

29

2,0452

2,7564

3,6595

190

1,9725

2,6020

3,3424

30

2,0423

2,7500

3,6460

200

1,9719

2,6006

3,3398

35

2,0301

2,7238

3,5911

250

1,9695

2,5956

3,3299

Таблица значений распределения

n

n

0,95

0,99

0,999

0,95

0,99

0,999

5

1,37

2,67

5,64

20

0,37

0,58

0,88

6

1,09

2,01

3,88

25

0,32

0,49

0,73

7

0,92

1,62

2,98

30

0,28

0,43

0,63

8

0,8

1,38

2,42

35

0,26

0,38

0,56

9

0,71

1,2

2,06

40

0,24

0,35

0,5

10

0,65

1,08

1,8

45

0,22

0,32

0,46

11

0,59

0,98

1,6

50

0,21

0,3

0,43

12

0,55

0,9

1,45

60

0,188

0,269

0,38

13

0,52

0,83

1,33

70

0,174

0,245

0,34

14

0,48

0,78

1,23

80

0,161

0,226

0,31

15

0,46

0,73

1,15

90

0,151

0,211

0,29

16

0,44

0,7

1,07

100

0,143

0,198

0,27

17

0,42

0,66

1,01

150

0,115

0,16

0,211

18

0,4

0,63

0,96

200

0,099

0,136

0,185

19

0,39

0,6

0,92

250

0,089

0,12

0,162