Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению . На практике устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия с степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению .

Учитывая, что является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так: .

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность измерений, инструментов, методов исследования и устойчивость исследуемых процессов. |

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину .

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы,

Первый случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости : Критическую точку находят по таблице критических точек распределения , и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством .

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы найти критическую точку

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Второй случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости .

Критические точки – левую и правую границы критической области – находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждой из двух интервалов критической области была равна /2.

В таблице критических точек распределения обычно указаны лишь “правые” критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании “левой” критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события и противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице. Таким образом, левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна .

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти левую критическую точку и правую критическую точку . Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если или – нулевую гипотезу отвергают.

Третий случай. Конкурирующая гипотеза .

Правило 3. При конкурирующей гипотезе находят критическую точку . Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. В случае, если найдена выборочная дисперсия , в качестве критерия принимают случайную величину .