17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
Означення Ненульовий вектор u простору V називається власним вектором лінійного оператора А, якщо Аu = и для деякого елемента . Елемент при цьому називається власним значенням оператора А, що відповідає власному вектору u. Говорять також, що власний вектор u належить власному значенню .
Якщо u - власний вектор лінійного оператора А, то існує єдиний елемент такий, що Аu= . Справді, якщо , то . Далі, якщо u – власний вектор оператора А, що належить власному значенню , то для довільного ненульового елемента з поля Р вектор теж є власним вектором оператора А, який належить тому самому власному значенню . Справді
. Отже, кожний власний вектор оператора А породжує в просторі V одновимірний інваріантний підпростір, всі ненульові вектори якого є власними векторами оператора А, що належать одному і тому ж власному значенню. Таким чином, задача знаходження інваріантних відносно оператора А одновимірних підпросторів простору V рівносильна відшуканню власних векторів оператора А
Теорема . Власні вектори лінійного оператора А, які належать попарно різним власним значенням , утворюють лінійно незалежну систему.
З теореми випливає, що коли лінійний оператор А n-вимірного векторного простору V має n попарно різних власних значень, то власні вектори оператора А, що належать цим власним значенням, взяті по одному для кожного значення, утворюють базис простору V. У базисі, складеному з власних векторів оператора А, матриця оператора А має надзвичайно простий вигляд, а саме, вона є діагональною, причому її діагональними елементами є власні значення, яким належать базисні вектори. Справді, якщо базисні вектори є власними векторами оператора А, що належать власним значенням відповідно, то , ,… тому матриця оператора А в базисі є діагональною матрицею: A= (по діагоналі ).
Теорема. Діагональна матриця А =
Є матрицею лінійного оператора А в деякому базисі векторного простору V тоді і тільки тоді, коли базисні вектори є власними векторами оператора А, що належать власним значенням .
Нехай А - лінійний оператор векторного простору V і А = ( ) - його матриця в деякому базисі е = { } простору V. Якщо u -власний вектор оператора А, що належить власному значенню , і ( ) - його координатний рядок в базисі е, тобто u = x1e1+...+xnen, то
. Розписавши цю матричну рівність покомпонентно, отримаємо систему лінійних рівнянь відносно змінних :
- 1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Розбиття на класи. Фактор-множина.
- 2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.
- 3.Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- 4. Підгрупи. Означення та критерій. Ізоморфізм та гомоморфізм груп, властивості.
- 5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. Кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.
- 6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.
- 7.Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма.
- 8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.
- 9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. Незал. Множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
- 11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умова рівності визначника нулеві.
- 12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь.
- 13. Теорема Крамера.
- 14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.
- 16.Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.
- 17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
- 18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.
- 19.Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Нсд і нск двох чисел і зв’язок між ними. Алгоритм Евкліда.
- 20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження нсд і нск.
- 22. Лінійні порівняння з однією змінною. Теорема про число розв’язків. Метод розв’язування лінійних порівнянь.
- 23.Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подібності.
- 25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
- 26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.
- 27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
- 28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.
- 30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.