13. Теорема Крамера.
Теорема КРАМЕРА: Якщо визначник основної матриці не дорівнює 0, то система рівнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами
Доведення: Розглянемо систему алгебраїчних рівнянь, яка містить n рівнянь і n невідомих.
1) Помножимо перше рівняння системи на А11, друге – на А21, n- рівняння системи на Аn1; додаємо перемножені ліві та праві частини, та виносимо ліві частини. Будемо мати:
Вирази в інших (n-1) дорівнюють 0, згідно властивості 13
2) Помножимо перше рівняння на А12 , друге – на А22, ....., n- рівняння –на Аn2, додамо почастинно, виконуючи перетворення аналогічні до першого кроку, отримаємо:
3) І так далі, на n кроці перше рівняння домножимо на А1n , друге рівняння - на А2n , ...., n- рівняння – на Аnn, і виконуючи аналогічні перетворення отримаємо
При доведенні ми не накладали умов відміності від 0 алгебраїчних доповнень, а значить потрібно переконатися, так одержанні значення є розв’язками системи рівнянь, тобто при їх підстановці замість невідомих кожне з рівнянь перетворюють в істинну числову рівність.
Доведемо наприклад для 1-ого рівняння:
- розкладається за елементами першого стовпця; - розкладається за елементами другого стовпця; і так далі, - за елементами n –ого стовпця.
Згідно властивості 13 вираз в дужках дорівнює , якщо і=1, і дорівнює 0 для всіх інших значень і.
Аналогічно перевіряємо інші n-1 рівняння.
Наслідки: 1) розглянемо відповідно однорідну алгебраїчну систему рівнянь, тоді Т. Крамера: якщо визначник основної матриці однорідної системи рівнянь відмінний від 0, то система рівнянь має єдиний розв’язок. Теорема: якщо визначник основної матриці однорідної системи рівнянь дорівнює 0, то система рівнянь має безліч розв’язків.
- 1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Розбиття на класи. Фактор-множина.
- 2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.
- 3.Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- 4. Підгрупи. Означення та критерій. Ізоморфізм та гомоморфізм груп, властивості.
- 5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. Кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.
- 6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.
- 7.Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма.
- 8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.
- 9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. Незал. Множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
- 11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умова рівності визначника нулеві.
- 12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь.
- 13. Теорема Крамера.
- 14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.
- 16.Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.
- 17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
- 18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.
- 19.Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Нсд і нск двох чисел і зв’язок між ними. Алгоритм Евкліда.
- 20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження нсд і нск.
- 22. Лінійні порівняння з однією змінною. Теорема про число розв’язків. Метод розв’язування лінійних порівнянь.
- 23.Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подібності.
- 25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
- 26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.
- 27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
- 28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.
- 30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.