13. Теорема Крамера.

Теорема КРАМЕРА: Якщо визначник основної матриці не дорівнює 0, то система рівнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами

Доведення: Розглянемо систему алгебраїчних рівнянь, яка містить n рівнянь і n невідомих.

1) Помножимо перше рівняння системи на А₁₁, друге – на А₂₁, n- рівняння системи на А_n1; додаємо перемножені ліві та праві частини, та виносимо ліві частини. Будемо мати:

Вирази в інших (n-1) дорівнюють 0, згідно властивості 13

2) Помножимо перше рівняння на А₁₂ , друге – на А₂₂, ....., n- рівняння –на А_n2, додамо почастинно, виконуючи перетворення аналогічні до першого кроку, отримаємо:

3) І так далі, на n кроці перше рівняння домножимо на А_1n , друге рівняння - на А_2n , ...., n- рівняння – на Аnn, і виконуючи аналогічні перетворення отримаємо

При доведенні ми не накладали умов відміності від 0 алгебраїчних доповнень, а значить потрібно переконатися, так одержанні значення є розв’язками системи рівнянь, тобто при їх підстановці замість невідомих кожне з рівнянь перетворюють в істинну числову рівність.

Доведемо наприклад для 1-ого рівняння:

- розкладається за елементами першого стовпця; - розкладається за елементами другого стовпця; і так далі, - за елементами n –ого стовпця.

Згідно властивості 13 вираз в дужках дорівнює , якщо і=1, і дорівнює 0 для всіх інших значень і.

Аналогічно перевіряємо інші n-1 рівняння.

Наслідки: 1) розглянемо відповідно однорідну алгебраїчну систему рівнянь, тоді Т. Крамера: якщо визначник основної матриці однорідної системи рівнянь відмінний від 0, то система рівнянь має єдиний розв’язок. Теорема: якщо визначник основної матриці однорідної системи рівнянь дорівнює 0, то система рівнянь має безліч розв’язків.