27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.

Поле розкладу для будь-якого многочлена над полем (комплексних чисел) є саме поле , тобто в полі комплексних чисел будь-який многочлен розкладається на лінійні множники. Поле алгебраїчно замкнуте і є єдиним числовим полем, яке має цю фундаментальну властивість.

Т. Кожний многочлен степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь.

Розклад многочленна.

Т.1. Кожний многочлен, степінь якого вищий за 1, звідний у полі комплексних чисел.

Т.2. Кожний многочлен n-го степеня над полем єдиним способом розкладається на лінійні множники в цьому полі, (1), де – корені, – старший коефіцієнт многочлена .

Доведення. Кожний многочлен над полем можна розкласти у добуток незвідних многочленів у цьому полі, причому ці многочлени визначаються однозначно з точністю до сталого множника: . Але в полі комплексних чисел кожний незвідний многочлен має перший степінь. Отже, число множників повинно дорівнювати степеню даного многочлена і кожний з них є лінійним двочленом. Далі, оскільки визначаються з точністю до сталого множника, вважатимемо, що в кожному з них старший коефіцієнт дорівнює одиниці, тобто . Тоді може відрізнятися від добутку всіх лише сталим множником, тобто: .

Але легко бачити, порівнюючи старші коефіцієнти в обох частинах цієї рівності, що . Далі, є коренями многочленна , бо . Тому ці числа позначимо через . Таким чином, замінюючи через і через , дістаємо шуканий розклад (1). Оскільки сталі множники для незвідних многочленів тут цілком визначені, то розклад (1) однозначний з точністю до порядку множників. Теорему доведено.

З розкладу (1) випливає, що жодне комплексне число, відмінне від чисел , не може бути коренем многочлена .

Оскільки під числом коренів многочлена в даному полі розуміють число лінійних множників многочлена в цьому полі, то переконуємось у справедливості такого твердження:

Т.3. Многочлен n-го степеня має в полі комплексних чисел точно коренів.

Ми бачимо також, що всі корені многочлена над полем комплексних чисел належать цьому самому полю , тобто полем розкладу будь-якого многочлена з комплексними коефіцієнтами є поле комплексних чисел.

Отже, поле комплексних чисел є алгебраїчно замкнутим.