17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).

Означення Ненульовий вектор u простору V називається власним вектором лінійного оператора А, якщо А_u = и для деякого елемента . Елемент при цьому називається власним значенням оператора А, що відповідає власному вектору u. Говорять також, що власний вектор u належить власному значенню .

Якщо u - власний вектор лінійного оператора А, то існує єдиний елемент такий, що А_u= . Справді, якщо , то . Далі, якщо u – власний вектор оператора А, що належить власному значенню , то для довільного ненульового елемента з поля Р вектор теж є власним вектором оператора А, який належить тому самому власному значенню . Справді

. Отже, кожний власний вектор оператора А породжує в просторі V одновимірний інваріантний підпростір, всі ненульові вектори якого є власними векторами оператора А, що належать одному і тому ж власному значенню. Таким чином, задача знаходження інваріантних відносно оператора А одновимірних підпросторів простору V рівносильна відшуканню власних векторів оператора А

Теорема . Власні вектори лінійного оператора А, які належать попарно різним власним значенням , утворюють лінійно незалежну систему.

З теореми випливає, що коли лінійний оператор А n-вимірного векторного простору V має n попарно різних власних значень, то власні вектори оператора А, що належать цим власним значенням, взяті по одному для кожного значення, утворюють базис простору V. У базисі, складеному з власних векторів оператора А, матриця оператора А має надзвичайно простий вигляд, а саме, вона є діагональною, причому її діагональними елементами є власні значення, яким належать базисні вектори. Справді, якщо базисні вектори є власними векторами оператора А, що належать власним значенням відповідно, то , ,… тому матриця оператора А в базисі є діагональною матрицею: A= (по діагоналі ).

Теорема. Діагональна матриця А =

Є матрицею лінійного оператора А в деякому базисі векторного простору V тоді і тільки тоді, коли базисні вектори є власними векторами оператора А, що належать власним значенням .

Нехай А - лінійний оператор векторного простору V і А = ( ) - його матриця в деякому базисі е = { } простору V. Якщо u -власний вектор оператора А, що належить власному значенню , і ( ) - його координатний рядок в базисі е, тобто u = x₁e₁+...+x_ne_n, то

. Розписавши цю матричну рівність покомпонентно, отримаємо систему лінійних рівнянь відносно змінних :