9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. Незал. Множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.

Озн.1. Впор. набір n дійсн. чис. наз. n-вимірн. в-ром. запис. =( а₁, а₂, … , а_n).

Озн. 2. Два в-ри =( а₁, а₂, … , а_n) та =( b₁, b₂, … , b_n) наз. рівними, якщо рівні всі їх відповідні компоненти.

Озн. 3. Сумою в-ів =( а₁,…, а_n) та =( b₁,…, b_n) наз. в-р =( а₁+b₁,…, а_n+b_n).

Добутком дійсн. числа  на n-вим. в-р =( а₁,… , а_n) є вектор = ( а₁,… , а_n).

Властивості: 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

=(0,0, … ,0) – нульов. ел-т.

Озн. 5. Мн-на всіх n-вим. в-ів над полем дійс. чис. R, в якій введ. оп-ії дод. векторів та множення векторів на дійс. числа і вик. вимоги 1-7 наз. n-вим. арифм. вект. прост-м.

Озн. 6. Нехай , ,…, - n-вимірні вектори і ₁, ₂,…,_k – дійсні числа. Вектор =₁ +₂ +…+_k наз. лін. комбінацією векторів , ,…, .

Озн. 7. Мн-на векторів , ,…, наз. лін. залежною, якщо век. рівність ₁ +₂ +…+_k = (1) викон. тоді, коли хоч один з ₁, ₂,…,_k ≠ 0

Озн. 8. Мн-на векторрів , ,…, наз. лін. незалежною, якщо векторна рівність виконується лише тоді, коли всі коефіцієнти ₁, ₂,…,_k дорівнюють нулеві.

Т. 1. Мн-на в-рів , ,…, є лін. зал. т. і т. т., коли хоч 1 в-р цієї мн-ни є лін. комб. решти в-рів.

Т. 2 (Штейніца). Нехай дано дві множини векторів

, ,…, (2) , ,…, , (3)

Якщо вектор мн-ни (3) є лін. комбін. векторів мн-ни (2), то мн-на векторів (2) є лін. зал.

Т. 3. Кожна множина векторів, яка містить є лінійно залежною.

Т. 4. Кожна мн-на одиничних векторів , ,…, є лінійно незалежною.

Т. 5. Діагональна множина векторів є лінійно незалежною.

Розглянемо множину векторів М={ , ,…, }

Озн.9. Макс. число лін. незал. в-рів множини М наз. рангом цієї множини.

Озн. 10. Якщо ранг мн-ни в-рів М =. r, то б.-який набір r лін. незал. в-ів з М наз. базисом М.

Т. 6. Набір лінійно незал. в-ів , ,…, мн-ни М буде базисом М т. і т. т., коли кожний вектор мн-ни М буде лін. комбінацією векторів , ,…, .

Необх. Нехай лінійно незалежні вектори , ,…, . утв-ть базис мн-ни М. Отже, кожна мн-на r+1 в-ра , ,…, .(і= ) буде лінійно незалежною:

(4) ₁ +₂ +…+_r + = , причому 0. Якби =0, то з (4)=> тобто в-ри , ,…, лін. заллежні. Дост. Нехай кожний вектор з множини М є лінійною комбінацією лінійно незалежних векторів =₁ +₂ +…+_r . Тоді кожна мн-на з (r+1) в-рів буде лін. незалежною (згідно т. 2). Отже, мн-на М не може містити більше, ніж r лін. незал. в-ів, тобто її ранг = r і в-ри , ,…, . утв-ють базис.

Озн. 11. Перетв. мн-ни в-рів, які не змін. її ранг, наз. еквівалми перетв-ми.

Основними теоремами про еквівалентні перетворення множини векторів є

Т.7. Якщо до мн-ни в-ів приєднати або вилучити в-р, який є їх лін. комбінацією, то від цього ранг новоутвореної множини векторів не змінюється.

Т. 8. Еквівалентними перетвореннями множини векторів будуть:

1) множення будь-якого вектора на відмінне від нуля число;

2) дод. до б.-якого в-ра ін. в-ра, помноженого на відмінне від нуля число.

10. Критерії сумісності системи лінійних рівнянь. Теорема про існування ненульового розв’язку лінійної однорідної системи рівнянь, яка містить n рівнянь і n+1невідому.

Запишемо лінійну неоднорідну систему рівнянь у векторній формі

(1) Розглянемо дві множини векторів:

М₁={ , ,…, }    (2)

М₂={ , ,…, , } (3)

Т1. Лінійна неоднорідна система рівнянь (1) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг множини векторів М₁ дорівнює рангу множини векторів М₂.

Необхідність. Припустимо, що система рівнянь (1) сумісна. Нехай вектор =(₁, ₂,…,_n) є її розв’язком, тобто .

Ми знаємо, якщо до множини векторів приєднати вектор, який є їх лінійною комбінацією, то від цього ранг новоутвореної множини векторів не зміниться, тобто .

Достатність. Нехай . Припустимо, що вектори , ,…, утворюють базис множини М₁. Так як множина М₂ також містить вектори

, ,…, то вони будуть базис і в множині М₂. Значить множина векторів , ,…, , є лінійно залежною:

(4) , причому 0.

Якщо припустити, що =0, то з (4) отримаємо, що вектори , ,…, є лінійно незалежні. З (4) отримаємо

(5) 

Порівнявши (4) і (5) переконуємося, що вектор

є розв’язком системи (1).

Зауваження. Якщо розглянути систему рівнянь у виді

(6) 

і позначити через А та А₁ основну та розширену матриці системи, то теорему 1 можна сформулювати так.

Теорема 1. Лінійна неоднорідна система рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці А дорівнює рангу розширеної матриці А₁.

Саме в такому формулюванні ця теорема відома як теорема Кронеккера Канеллі.

Теорема 2. Кожна система n однорідних лінійних рівнянь, яка містить n+1невідому має і причому ненульові розв’язки.

Доведення. Запишемо лінійну однорідну систему рівнянь у векторній формі

(7)

Розглянемо дві множини векторів

, ,…, , (8)

, , … , (9)

Причому , , … , - одиничні n-вимірні вектори. Так як кожний вектор множини (8) є лінійною комбінацією векторів множини (9), то згідно теореми Штейніца множина (8) є лінійно залежною. Значить,

,

тобто =(₁, ₂,…,_n, _т+1) є ненульовий вектор системи рівнянь (7).