8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.

Озн.1Лінійною неоднорідною сист. рівнянь, яка містить m рівнянь і n невідомих називається:

Вваж. всі ці величини дійсн. числами. Якщо всі вільні чл. =0, то сист. р-нь наз. однорідною лінійною системою рівнянь.

Озн2. ā(₁,₂,…,_n) наз. розв. лінійної неоднор. сист. р-нь (1), якщо при підстановці його компонент замість невідомих кожне з рівнянь перетвор. в істинну числову рівність.

Озн3. Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоч би один розв’язок.

Озн4. Сист. рівнянь називається несумісною, якщо множина її розв. порожня. Розв’язати сист. рівнянь (1) означає або знайти всі її розв. або довести, що система (1) не має розв’язків. Сумісна сист. рівнянь має або один розв’язок або безліч розв.

(2) (ā_і, )= , i= це векторно-скалярний запис системи рівнянь.

(3) х₁ +х₂ +…+х_n = . Це векторний запис системи рівнянь.

(4) АХ=В це матрична форма запису системи рівнянь (1).

Озн4. Дві сист. лінійних рівнянь називаються еквівалентними (рівносильними), якщо кожний розв’язок однієї системи рівнянь є розв’язком другої системи рівнянь і навпаки.

Озн 5. Елементарними перетвореннями системи рівнянь називаються на ступні перетворення:

1. перестановка місцями будь-яких двох рівнянь системи;

2. множення будь-якого рівняння на відмінне від нуля число;

3. додавання до обидвох частин одного рівняння відповідних частин другого рівняння, які помножені на відмінне від нуля число.

Елементарні перетворення переводять дану систему рівнянь в еквівалентну систему.

Метод Гауса.

Н ехай в 1-му р-ні коефіцієнт а₁₁0 (якщо це не так, то поміняємо місцями доданки лівої частини і проведемо аналогічні міркування). Перетворимо систему рівнянь (1), виключивши змінну х₁ з усіх рівнянь, крім 1-го. Для цього помножимо обидві частини 1-го р-ня на –а₂₁/a₁₁ і до 2-го р-ня додаємо перетворене 1-ше, 1-ше р-ня помножимо на –a₃₁/a₁₁ і до 3-го р-ня додамо перетворене 1-ше і т.д, помножимо 1-ше р-ня на –a_ml/a₁₁ і до m-го р-ня додамо перетворене перше рівняння. В результаті отримаємо (5)

Тут коефіцієнти а_ij та вільні члени b_i вирази коефіцієнтів та вільних членів, які отримані після виконаних перетворень. (5) очевидно буде еквівалентною системі (1). 1-ше р-ня системи залишаємо без змін. Розглянемо друге, третє і т. д. m-не рівняння. Якщо серед цих рівнянь є такі, що всі коефіцієнти лівої частини та відповідний вільний член = 0, тобто виду 0·х₂+0·х₃+…+0·х_n=0, то ми ці рівняння виключаємо з розгляду. Якщо серед рівнянь є такі, що всі коефіцієнти лівої частини 0, а відповідний вільний член правої частини відмінний від нуля, тобто 0·х₂+0·х₃+…+0·х_n=b, b0, то тим самим ми вже довели, що система рівнянь несумісна. Таким чином, вважаємо, що серед коефіцієнтів a_ij є відмінні від нуля. Нехай, наприклад a₂₂≠0. Аналогічно до описаних вище перетворень, домножаємо друге рівняння відповідно на -a₃₁/a₁₁, … , - a_m2/a₂₂ і перетворене друге рівняння додаємо до третього і т. д. m-го рівняння. Отримаємо:

(6)

Система рівнянь (6) еквівалентна до системи рівнянь (5), а значить і до (1). Проводимо знову аналогічні міркування до проведених вище.

Якщо ми отримаємо систему рівнянь коефіцієнти лівої частини нулі, а вільний член є відмінний від нуля, то наша система рівнянь (1) є несумісною.В усіх інших випадках ми отримаємо систему рівнянь виду:

в якій а₁₁0, a₂₂0, … , 0, 0; km, kn.

Система рівнянь (7) сумісна. Якщо k=n, то система (7) матиме вид

З останнього рівняння визначимо х_n. Підставивши його значення в передостаннє рівняння визначимо х_n-1. Продовжуючи цей процес ми отримаємо, що система рівнянь (8), а значить і система рівнянь (1) мають єдиний розв’язок.

Якщо kn, то залишимо в кожному рівнянні системи (7) в лівій частині доданки першими k невідомими, а інші – перенесемо в праву частину. Зафіксуємо будь-яким способом невідомі x_k+1, … , x_n правої частини. Отримуємо конкретні значення для x₁, x₂,…,x_k. Так як фіксувати невідомі x_k+1, … , x_n можна безліччю способів, то в цьому випадку система рівнянь (7), а значить і (1) має безліч розв’язків.

Зауваж. Застосувавши метод Гауса до однорідної сист. рівяннь, отримуємо, що вона завжди сумісна, бо (0, 0,…, 0) є її розв’язком і має або бещліч розв’язків, або лише нульовий розв’язок.