12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь.

Озн. 1. Квадратна матриця А^-1 n-го пор. наз. оберненою до квадратної матриці А n-го порядку, якщо А·А^-1=А^-1·А=Е

Озн. 2. Елементарною матрицею n-го порядку наз. матриця, яка утв-ться з одиничної матриці n-го порядку за допом. елементарного (еквівалентного) перетворення.

До еквівалентних перетворень матриці відносяться:

1) заміна місцями двох будь-яких рядків;

2) множення рядка на будь-яке число відмінне від 0;

3) додавання до будь-якого рядка іншого рядка помноженого на відмінне від 0 число.

Теорема1. Заміну місцями двох рядків матриці можна замінити множенням матриці А зліва на відповідну елементарну матрицю, яка одержується з одиничної матриці заміною місцями аналогічних рядків.

Доведення:

Т. 2. Множення і-го рядка м-ці А на ненульове число С еквівал. множенню м-ці А зліва на елементар-ну м-цю, яка отримується з одиничної матриці множенням і-го рядка на дане число С.

Доведення: Помножимо третій рядок матриці А на ненульове число С і помножимо одиничну матрицю Е на ненульове число С. Доведемо, що

Т. 3. Додавання і-го рядка до j-го рядка, помноженого на ненульове число С еквівалентне множеню матриці А зліва на елементарну м-цю, яка отримується з одиничної матриці додаванням до і-го рядка j-го рядка, помноженого на ненульове число С.

Доведення: розглянемо матрицю А і додамо наприклад до другого рядка перший рядок помножений на ненульове число С.

Аналогічні теореми справджуються і з перетвореннями стовпців, лише множення на елементарні матриці проводиться справа.

Т.4. Якщо за допомогою елементарних перетворень рядків (стовпців) квадратну м-цю А можна перевести в одиничну м-цю, то за допомогою цих самих елементарних перетворень одинична м-ця Е перейде в матрицю А^-1, якщо буде оберненою до матриці А.

Доведення: Нехай за допом. ел-арних перетв. а₁, а₂, … , а_k рядків м-ці квадр. м-ця А переводиться в одиничну м-цю Е. Згідно т-ем 1-3 перетв-ння а₁ перев-ть м-цю А в ·А, перетв. а₂ перев. м-цю ·А в ( ·А) і т. д. а_k перев. м-цю ( … ( ·А)) в матрицю ·( … А)=Е. Звідси ( … )(А·А^-1)=Е·А^-1 або ( … А)А^-1=А^-1, => … У=А^-1.

З останньої рівності випливає, що елементарні перетворення а₁, а₂, … , а_k рядків матриці переводить одиничну матрицю Е в А^-1.

Зауваження. На практиці обернену матрицю шукають так: записують прямокутну матрицю (А/Е) і за допомогою елем. пертвор. зводять її до (Е/А^-1).

Т 5. Якщо визначник квадратної матриці А n-го порядку не дорівнює нулеві, то вона має обернену матрицю А^-1, причому

А^-1= , А_ij – алгебраїчні доповн. до елемента а_ij матриці А.

Доведення: Позначимо шукану обернену матрицю через Х={x_ij}ⁿ_i,j=1 . Тоді АХ=Е або =

Перемножимо матриці лівої частини та прирівняємо відповідні елементи матриць лівої та правої частини. Отримаємо:

Одержана система n² рівнянь з n² невідомими розкладається на n підсистем, кожна з яких складається з n рівнянь і n невідомих, причому визначник основної матриці кожної з підсистем є det A0. Згідно теореми Крамера кожна з n систем має і притому єдиний розв’язок. Знайдемо вираз для х_ij.

Обчислимо, наприклад,

= = =

Аналогічно знаходимо решту х_ij. Безпосереднім множенням матриці А на знайдену переконуємося в тому, що знайдена м-ця обернена до м-ці А.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Нехай А= , Х= , В=

Тоді систему лінійних рівнянь можна записати у матричній формі А·Х=В

Якщо матриця А має обернену матрицю А^-1, то помноживши обидві частини матричного рівняння зліва на А^-1, отримаємо Х=А^-1·В

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що Х=А^-1·В є єдиним розв’язком лінійної системи рівнянь