18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.

Нехай А - лінійний оператор векторного простору V і А = ( ) його матриця в деякому базисі е = {е ,...,е } простору V. Якщо u -власний вектор оператора А, що належить власному значенню , і (х₁,...,х_n) - його координатний рядок в базисі є, тобто u = x₁e₁+...+x_ne_n, то Au = [u]А = (х₁,...,х_п)А = =( ,..., ). Розписавши цю матричну рівність покомпонентно, отримаємо систему лінійних рівнянь відносно змінних ,..., :

Якщо вектор u є власним вектором лінійного оператора А, що належить власному значенню , то координатний рядок (х₁,...,х_n) цього вектора в базисі є простору V є ненульовим розв'язком системи:

Многочлен |А- | називається характеристичним многочленом оператора А в базисі є, а також характеристичним многочленом відповідної матриці А. Матриця А -  називається характеристичною матрицею матриці А. Отже, коли деякий елемент Х₀ є Р є коренем характеристичного многочлена оператора А в деякому базисі є простору V, тобто якщо

|А- |=0, де А - матриця оператора А в базисі є, то є власним значенням оператора А, і навпаки, якщо - власне значення оператора А, то є одним з коренів характеристичного многочлена оператора А в деякому базисі є. Цей результат можна сформулювати у вигляді теореми.

Теорема . Для того, щоб елемент є Р був власним значенням лінійного оператора А векторного простору V над полем Р, необхідно і достатньо, щоб елемент був коренем характеристичного многочлена |А - | оператора А в деякому базисі є простору V.

Теорема . Характеристичний многочлен лінійного оператора А векторного простору V не залежить від вибору базису в просторі V.

Теорема . Елемент є Р є власним значенням матриці А (і відповідного лінійного оператора А) тоді і тільки тоді, коли є коренем характеристичного рівняння А - = 0 матриці А.

Таким чином, задача відшукання власних векторів лінійного оператора А векторного простору V над полем Р зводиться до знаходження в полі Р коренів характеристичного многочлена оператора А. Як відомо, в полі С комплексних чисел будь-який многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має комплексні корені. Тому кожний лінійний оператор векторного простору V над полем С має власні вектори, а отже, в просторі V існує хоча б один одновимірний підпростір, інваріантний відносно оператора V.

У випадку, коли розглядається дійсний векторний простір, характеристичне рівнянн |А - | =0 oператора А може не мати жодного кореня в полі R дійсних чисел. У цьому випадку лінійний оператор А не має власних векторів. Наприклад, характеристичне рівняння оператора А повороту на кут проти годинникової стрілки навколо початку прямокутної декартової системи координат у дійсному просторі W₂ геометричних векторів площини має вигляд:

|А - Е|= .Якщо , де , то це рівняння не має дійсних коренів, оскільки дискримінант D квадратного тричлена від'ємний: D = 4(cos² -1)<0. Отже, в дійсному векторному просторі не для кожного лінійного оператора існує одновимірний інваріантний підпростір. Однак, в цьому випадку справджується така теорема.

Теорема 14. Для будь-якого лінійного оператора дійсного векторного простору існує одно- або двовимірний інваріантний підпростір.

Якщо у векторному просторі V над полем Р існує базис, складений із власних векторів оператора А, то матриця оператора А в цьому базисі має діагональний вигляд. Говорять, що матриця А зводиться до діагонального вигляду, якщо вона подібна деякій діагональній матриці.

Лінійний оператор А n-вимірного векторного простору V над полем Р називається оператором із простим спектром, якщо він має п різних власних значень, тобто якщо його характеристичний многочлен |А- | має п різних коренів в полі Р. Множина власних значень в цьому випадку називається спектром оператора А.

Теорема . Якщо А - матриця оператора з простим спектром, то вона зводиться до діагонального вигляду.

Необхідну і достатню умову звідності матриці до діагонального вигляду дає теорема:

Теорема . Матрицю А можна звести до діагонального вигляду тоді і тільки тоді, коли А є матрицею лінійного оператора А векторного простору V, в якому існує базис, утворений з власних векторів оператора А.

Теорема . Матриця А n-го порядку над полем Р зводиться до діагонального вигляду тоді і тільки тоді, коли всі корені її характеристичного рівняння лежать у полі Р і для кожного кореня кратності ранг , матриці A- E допівнює n - .