25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.

Озн. Нехай Р деяке числове поле. Полем називається не порожня множина Р-елементів довільної природи, яка містить принаймні два різних елементи, введені дві бінарні операції «+», «*» і виконується 7 вимог:

1.а+в=в+а 2.(а+в)+с=а+(в+с)

3. 4. 5.

6. 7. .

Означення: многочленом n-го степеня над числовим полем Р називається вираз виду

Причому всі елементи ,а також х належать одному полю Р.

Теорема про ділення з остачею: Які б не були два многочлени P(x) i Q(x) які не дорівнюють існують і притому єдині многочлени S(x) i R(x) для яких виконується рівність D(x)=Q(x)S(x)+R(x), degR(x)<degQ(x), S(x)-частка, R(x)-остача

Нехай Р(х) многочлен 0-степеня і степеня тоді S(x)=a,Q(x)=b.

В загальному випадку доведемо теорему ММІ по n.

1.якщо n>0 то цей випадок ми довели.

2.Припустимо що теорема істина при n-1 і доведемо для n.Введемо допоміжно n=1.

Підрахуємо степінь многочленна Ф(х),degP(x)=n,

Старший член многочленна Р(х) є і старший член другого доданка Ф(х) є .В многочленні Ф(х) старшим членом буде доданок степінь якого буде n-1, а за припущенням 2-го пункту ММІ теорема істинна тобто Ф(х)=Q(x)+R(x), degR(x)<degQ(x).

Доведемо єдність: Припустимо, що є два різні представлення P(x)=Q(x)S(x)+R(x),

degR(x)<degQ(x);

Очевидно, що deg лівої частини більший deg правої частини.Так як степені різні то рівність можлива лише тоді коли

Теорему доведено. Теорема Безу: Остача від ділення многочленна Р(х) на многочлен Q(x)=P( ).

Згідно теореми існують такі єдині многочлени S(x) i R(x), що має рівність

Доведенно.

d(x)-спільний дільник P(x)iQ(x) якщо і P(x)iQ(x) ділиться без остачі на многочлен d(x).Спільний дільник d(x)який має ділитись на всі інші спільні дільники називається найбільшим спільним дільником P(x)iQ(x).(НСД).

Якщо многочлен P(x) ділиться без остачі на многочлен Q(x) то для будь-якого не 0 числа C P(x) ділиться без остачі і на C*Q(х). Таким чином подільність многочленна визначається з точністю до сталого множника дійсного числа. Ми будемо вважати, що НСД двох многочленів є єдиним многочленом в розумінні з тотожністю до сталого множника яким є многочлен 0-степеня.

Алгоритм Евкліда для P(x)iQ(x):

P(x)-ділене Q(x)-дільник (х)-частка -остача.

1. є 0-многочленом,це означає що P(x) ділиться на Q(x).Очевидно що НСД цих многочленів. Якщо не є 0-многочленом маємо

. Два випадки:

1. тоді НСД

Без остачі значить НСД= .Якщо не є 0-многочленом то поділимо на .

І проводим аналогічно.Очевиднго,що цей процес є скінченним і містить не більше ніж n-кроків.

Провівши міркування проведені аналогічно до перших отримаємо НСД(P(x)iQ(x))=R(x).

Означення: Записані вище рівності називаються алгоритмом Евкліда для P(x) i Q(x).Теорема Евкліда: НСД(P(x)iQ(x)) називається остання відмінна від 0-многочлена остача алгоритму Евкліда.