25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
Озн. Нехай Р деяке числове поле. Полем називається не порожня множина Р-елементів довільної природи, яка містить принаймні два різних елементи, введені дві бінарні операції «+», «*» і виконується 7 вимог:
1.а+в=в+а 2.(а+в)+с=а+(в+с)
3. 4. 5.
6. 7. .
Означення: многочленом n-го степеня над числовим полем Р називається вираз виду
Причому всі елементи ,а також х належать одному полю Р.
Теорема про ділення з остачею: Які б не були два многочлени P(x) i Q(x) які не дорівнюють існують і притому єдині многочлени S(x) i R(x) для яких виконується рівність D(x)=Q(x)S(x)+R(x), degR(x)<degQ(x), S(x)-частка, R(x)-остача
Нехай Р(х) многочлен 0-степеня і степеня тоді S(x)=a,Q(x)=b.
В загальному випадку доведемо теорему ММІ по n.
1.якщо n>0 то цей випадок ми довели.
2.Припустимо що теорема істина при n-1 і доведемо для n.Введемо допоміжно n=1.
Підрахуємо степінь многочленна Ф(х),degP(x)=n,
Старший член многочленна Р(х) є і старший член другого доданка Ф(х) є .В многочленні Ф(х) старшим членом буде доданок степінь якого буде n-1, а за припущенням 2-го пункту ММІ теорема істинна тобто Ф(х)=Q(x)+R(x), degR(x)<degQ(x).
Доведемо єдність: Припустимо, що є два різні представлення P(x)=Q(x)S(x)+R(x),
degR(x)<degQ(x);
Очевидно, що deg лівої частини більший deg правої частини.Так як степені різні то рівність можлива лише тоді коли
Теорему доведено. Теорема Безу: Остача від ділення многочленна Р(х) на многочлен Q(x)=P( ).
Згідно теореми існують такі єдині многочлени S(x) i R(x), що має рівність
Доведенно.
d(x)-спільний дільник P(x)iQ(x) якщо і P(x)iQ(x) ділиться без остачі на многочлен d(x).Спільний дільник d(x)який має ділитись на всі інші спільні дільники називається найбільшим спільним дільником P(x)iQ(x).(НСД).
Якщо многочлен P(x) ділиться без остачі на многочлен Q(x) то для будь-якого не 0 числа C P(x) ділиться без остачі і на C*Q(х). Таким чином подільність многочленна визначається з точністю до сталого множника дійсного числа. Ми будемо вважати, що НСД двох многочленів є єдиним многочленом в розумінні з тотожністю до сталого множника яким є многочлен 0-степеня.
Алгоритм Евкліда для P(x)iQ(x):
P(x)-ділене Q(x)-дільник (х)-частка -остача.
1. є 0-многочленом,це означає що P(x) ділиться на Q(x).Очевидно що НСД цих многочленів. Якщо не є 0-многочленом маємо
. Два випадки:
1. тоді НСД
Без остачі значить НСД= .Якщо не є 0-многочленом то поділимо на .
І проводим аналогічно.Очевиднго,що цей процес є скінченним і містить не більше ніж n-кроків.
Провівши міркування проведені аналогічно до перших отримаємо НСД(P(x)iQ(x))=R(x).
Означення: Записані вище рівності називаються алгоритмом Евкліда для P(x) i Q(x).Теорема Евкліда: НСД(P(x)iQ(x)) називається остання відмінна від 0-многочлена остача алгоритму Евкліда.
- 1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Розбиття на класи. Фактор-множина.
- 2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.
- 3.Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- 4. Підгрупи. Означення та критерій. Ізоморфізм та гомоморфізм груп, властивості.
- 5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. Кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.
- 6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.
- 7.Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма.
- 8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.
- 9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. Незал. Множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
- 11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умова рівності визначника нулеві.
- 12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь.
- 13. Теорема Крамера.
- 14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.
- 16.Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.
- 17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
- 18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.
- 19.Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Нсд і нск двох чисел і зв’язок між ними. Алгоритм Евкліда.
- 20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження нсд і нск.
- 22. Лінійні порівняння з однією змінною. Теорема про число розв’язків. Метод розв’язування лінійних порівнянь.
- 23.Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подібності.
- 25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
- 26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.
- 27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
- 28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.
- 30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.