5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. Кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.

Непорожня множина К, в якій визначено дві бінарні операції “додавання” і “множення” і виконуються вимоги (((( далі запис. як *** )))):

1) ( а, b, с)(а+b=b+а); 2) (***а, b, с)((а+b)+с=а+(b+с)); 3) ( )(***а)(а+=а),  - нульовий елемент; 4) (***а)(існ.(-а) є К)(а+(-а)= ; 5) (***а, b, с)((а·(b·с=(а·b)·с);

6) (***а, b, с)(а·(b+с)=а·b+а·с); 7) (***а, b, с)(а+b·с=а·с+b·с). наз. кільцем.

Відносно опер. дод. кільце К є абел. гр-ю, а тому кільце К це абелева група відносно дод., відносно множ. асоціативна і пов’язана дистрибутивними законами відносно дод.Якщо операція множ. є комутат. то кільце К наз. комутативним. Приклади:

1.Мн-а цілих чисел – комутативне к-це відносно арифм. оп-ій дод. і множ..

2.Мн-а парних чисел – комут. к-це відносно арифм. операцій дод. і множ.

3.Мн-а рац. чисел Q відносно арифм. оп. дод. і множ. є комут. кільцем

4.Мн-а дійсн. чисел R є комутативним к-цем відносно оп. дод. і множення .

6.Некомут. к-цем є к-це квадр. матриць n-го пор. відн. дод. і множ. матр. над п-ми Q, R, C.

Озн.2. Підмножина К₁ кільця к називається підкільцем кільця К, якщо К₁ є кільцем відносно операцій додавання і множення, які визначені в кільці К.

Приклади.

1)Кільце парних чисел є підкільцем кілець R, Q, C.2)Кільце матриць n-го порядку над полем Q є підкільцем кілець матриць n-го порядку над полями Q та С.

Теор. Непорожня підмножина К₁ кільця К буде підкільцем тоді і тільки тоді, коли а+b, а-b, а·b будь-яких двох елементів а і b підмножини К₁ належали до К₁.

Озн.2. Елемент е₁ кільця К називається правим одиничним елементом, якщо (***а)(а·е₁=а)

Озн.3. Елемент е₂ кільця К називається лівим одиничним елементом, якщо (***а)(е₂·а=а)

Приклади. 1) Кільце перших чисел немає ні лівого ні правого одиничного елемента.

2) В кільці матриць другого порядку виду і а,bR відносно операцій множення та додавання матриць є безліч лівих одиничних елементів. Справді, будь-яка матр.виду:

для кожного mR є лів. одиничн. ел-том. = , але ці матриці не будуть правими одиничними елементами, бо = .

Якщо кільце К має і лівий одиничний елемент е₁ і правий одиничний лемент е₂, то вони співпадають. Справді, якщо е₁ вважають лівим одиничним елементом, то е₁·е₂=е₂. Аналогічно, якщо е₂ вважають правим одиничним елементом, то е₁·е₂=е₁.

З цих двох рівностей випливає, що е₁=е₂.

Озн.3. Елемент кільця К називається одиничним елементом, якщо (***а)(а·е=е·а=а).

Озн.4. Ненульове кільце, яке містить одиничн. ел-т е, наз. кільцем з одиницею.

Прикладами кілець з одиницею є кільця Q, R, C. Кільцями з одиницею будуть кільце матриць n-го порядку над полями Q, R, C. В цих кільцях одиничним елементом буде одинична матриця.

Озн5. Елементи а і b кільця К наз. дільниками нуля, якщо а0 і b0, але а·b=0.

а називають лівим дільником нуля, b називають правим дільником нуля.

Приклади: 1. В кільці квадратних матриць другого порядку над полями R, Q, C матриці та будуть дільниками нуля, бо = .

2. В кільці неперервних функцій проміжку [-1, 1] відносно початкового додавання і множення дільниками нуля будуть функції5. та , бо f₁(х)·f₂(х)=0.

Озн 6. Комутативне кільце, в якому немає дільників нуля, називають областю цілісності.

З означення кільця випливають такі основні властивості

1. (***а, b)(а+b=а  b=0), 2. (***а, b)(а+b=0  b=-а), 3. (***а)(-(-а)=а), 4. (***а)(0·а=а·0=0),

5. (***а, b)((-а)·b=а·(-b)=-(а·b)), 6. (***а, b)((-а)·(-b)=а·b), 7. (***а, b,с)(а·(b-с)=а·b-а·с),

8. (***а, b,с)((а-b)·с=а·с-b·с). Доведемо, властивості 1,8.

Якщо а+b=а, то b=0+b=(-а+а)+b=-а+(а+b)=-а+0=-а.

З (5) і дистрибутивності множ. відносно дод.=> (а-b)с=(а+(-b)с=ас+(-b)с=а·с+(-b·с)=а·с-b·с.

Озн7. Відображення : К₁К₂ кільця К₁ в кільце К₂ називають гомоморфним відображенням або гомоморфізмом К₁ в К₂, якщо: (***а, b)((а+b)= (а)+ (b))

8.(***а, b)((а·b)= (а)·(b)).

Приклад. К-це матриць 2-го порядку над полем дійсних чисел гомоморфне к-цю дійсн. ч. R.

Перевіркою вимог 1, 2 переконуємося, що є гомоморфізмом.

Основними властивостями гомоморфізму є:

1. Якщо  є гомоморфізмом кільця К₁ в кільце К₂, то (0)=0₁

2. Якщо  є гомоморфізмом кільця К₁ в кільце К₂, то (***а) ((-а)= -(а)).

Доведення власт. 1, 2 аналогічні дов. відповідних властивостей гомоморфізму двох груп.

Озн8. Взаємно однозначне відображення  кільця К₁ на кільце К₂ при якому:

1.( а, b)((а+b)= (а)+ (b)); 2.( а, b)((а·b)= (а)·(b))

називається ізоморфізмом к-ць К₁ та К₂. Самі к-ця К₁ та К₂ наз. при цьому ізоморфними.

Приклад.

Озн9. Скалярною матрицею над полем П називається матриця n-го порядку елементами головної діагоналі якої є одне і те саме число m, а решта елементів дорівнюють нулеві.

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що кільце скалярних матриць n-го порядку ізоморфне кільце дійсних чисел R. Ізоморфізмом при цьому буде : n

Як і при гоморфізмі кілець доводяться такі основні властивості ізоморфізму.

Властивість 1. Якщо  ізоморфізм кільця К₁ на кільце К₂, то (0)=0₁

Властивість 2. Якщо  ізоморфізм кільця К₁ на кільце К₂, то ( а) ((-а)= -(а)).