7.Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма.
Нехай на площині вибрана прямокутна декартова система координат.
Озн. 1. Впорядков. пара чисел а, b наз. комплексним числом і позначається =а,b.
Озн. 2. Два компл. числа =а,b, =c,d наз. рівними, якщо а=сb=d і записуємо =.
Озн. 3. “Сумою” + 2-ох комп. чис. =а,b, =c,d наз. ком.. число =k,m, для якого k=a+c m=b+d.
Озна.4. “Добутком” · двох компл. чисел та наз. таке комп. число =r,n, для якого r=ac-bd n=ad+bc
Ці операції є бінарні. Доведемо, що мн-на всіх компл. чисел, відносно операцій “+” та ”·” утворює поле. Перевіримо виконання втмог (1-7) поля.
Довед. вл. 2. ( , , )((·)·=·(·)) . (·)·=(a,b c,d) k,m=ac-bd, ad+bc k,m=(ac-bd)k-(ad+bc)m,(ac-bd)m+(ad+bc)k=ack-bdk-adm-bcm, acm-bdm+adk+bck права част. ·(·)=а,b (c,d k,m)=a,b·ck-dm, cm+dk=a(ck-dm)-b(cm-dk), a(cm+dk)+b(ck-dm)=ack-adm-bcm-bdk, acm+adk+bck-bdm Отже, (·)·=·(·)
Довед.3. Покажемо, що для ∀ , р-ння += має розв. Справді a,b+x,y=c,d. => х=с-а, y=d-b. Отже, =c-a, d-b - розв’язок р-ння +=.
Дов.7. Очевидно, що =0,0. Покажемо, що р-ння ·=, має розв. Справді a,bx,y=c,d. => =>
Поле ком. чис. позн. С.
Різницею - двох комплексних чисел буде a-c,b-d,
Часткою буде . Якщо =, то одиничн. ел-ом буде 1, 0. Якщо =1, 0, то
.
Побудоване поле комплексних чисел є розшир. поле дійсн. чис. Точки, які належать осі 0х, виду а,0> взаємно однозначно відповідають множині дійсних чисел. Так як а,0+с,0=а+с,0 а,0·с,0=а·с,0,
то комплексні числа виду а,0 додаються і перемножуються як дійсні числа.
Точка 0,1 лежить на осі ординат, її квадрат =(-1).Цю точку прийнято позначати буквою і, і2=-1. Комплексне число а,b можна записати ще так
а,b=а,0+0,b=а,0+b,00,1=а+b·і
Озн. 5. Представлення компл. числа а,b у виді а+bі називається алгебраїчною формою.
Компл. число і наз. уявною одиницею, числа виду b·і – уявн. числами. В записі = а+bі
числа а наз. дійсною частиною числа , а bі – уявною. Пл-ну, точками якої є комплексні числа, наз. комплексною. Вісь абсцис наз. дійсною віссю, а вісь у – уявною.
Дії над компл. числами в алгебраїчній формі здійснюються так:
(а+bі)+(c+di)=(a+c)+(b+d)і, (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
Множ. компл. чис. здійсн. за правилами множ. двочленів.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
Полож. т. на площ. повністю визнач. заданням її полярних корд.: віддалі r від поч.. коорд. до точки і кута між додатн. напр.. осі абсцис і напрямом від початку корд. на цю точку.
Число r – завжди додат, і =0 лише для т. 0; його наз. модулем компл числа і позн. .
Кут наз. аргументом компл. числа і позн. arg . Вваж., що 0 arg 2 або - arg .
Між декартовими і полярними координатами точки справедливі такі співвідношення
a=r cos , b=r sin (1), r= (2)
Тоді a+bi=r cos+i r sin=r(cos+i sin) (3), тригонометр. форма запису
З (1) => cos0=cos, тобто arg=0. Отже, кожне комплексне число однозначно записується в виді (3), де r=i i = arg .
Дії над компл. чис. в тригон. формі: Нехай =r(cos +i sin ), =(cos +i sin ). Перемнож. їх ·=[ r(cos +i sin )][=(cos +i sin )]=r(cos cos +i cos sin +i sin cos +i2 sin sin )= r(cos(+)+i sin(+)).
Щоб помн. два комп. ч-ла в триг. формі потрібно перемн. мод. і арг. дод.
Нехай 0, тоді
Щоб поділ. компл. числа в тригон. формі потрібно їх модулі поділити, а аргументи відняти.
- 1. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Розбиття на класи. Фактор-множина.
- 2. Натуральні числа (аксіоми Пеано). Принцип математичної індукції.
- 3.Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.
- 4. Підгрупи. Означення та критерій. Ізоморфізм та гомоморфізм груп, властивості.
- 5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. Кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.
- 6. Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чисел.
- 7.Поле комплексних чисел. Алгебраїчна та тригонометрична форма.
- 8. Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.
- 9. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лін. Незал. Множини векторів. Ранг і базис скінченної множини векторів.
- 11. Означення та основні властивості визначників. Необхідна і достатня умова рівності визначника нулеві.
- 12. Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень та за допомогою алгебраїчних доповнень. Розв’язування матричним способом системи лінійних рівнянь.
- 13. Теорема Крамера.
- 14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.
- 16.Базис і розмірність скінченно вимірного векторного простору. Ізоморфізм векторних просторів.
- 17. Лінійні оператори. Власні значення та власні вектори лінійного оператора.(немаєпро лінійні оператори).
- 18. Теорема про зв’язок характеристичних коренів та власних значень лінійного оператора. Зведення матриці до діагонального виду.
- 19.Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Нсд і нск двох чисел і зв’язок між ними. Алгоритм Евкліда.
- 20. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Основна теорема арифметики. Застосування канонічного розкладу чисел до знаходження нсд і нск.
- 22. Лінійні порівняння з однією змінною. Теорема про число розв’язків. Метод розв’язування лінійних порівнянь.
- 23.Застосування теорії порівнянь до виведення ознак подібності.
- 25. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Нсд двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
- 26. Факторіальні кільця. Факторіальність кільця многочленів над полем.
- 27. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність.
- 28. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.
- 30. Будова простого розширення числового поля. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.