14. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків.

Теорема про фундаментальну систему розв’язків: якщо ранг основної матриці однорідної системи рівнянь (1) дорівнює r ,і r – менше кількості невідомих n, то існує фундаментальна система розв’язків і їх кількість дорівнює n-r.

Доведення: Згідно теореми Гауса при виконанні теореми, однорідна система рівнянь (1) має безліч розв’язків і сукупність всіх розв’язків системи рівнянь (1) записується так:

(2)

Виберемо з даної сукупності розв’язків n-r розв. По правилу, одна з незалежних змінних дорівнює 1, а всі інші незалежні змінні дорівнюють 0.

1)

2)

Доведемо, що ці вектори є лінійно-незалежні і кожний інший розв’язок є їх лінійною комбінацією. Складемо матрицю з компонентів векторів і еквівалентними перетвореннями зведемо її до діагонального виду. Одним з еквівалентних перетворень є заміна місцями стовпців, поміняємо місцями 1-ий стовпець з r+1; 2-ий – з r+2; n-r - з r. Отримаємо матрицю по головній діагоналі будуть стояти 1, а нижче діагоналі 0. Таким чином ці вектори є лінійно незалежними. Тепер покажемо, що кожен розв’язок можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів . У векторі компоненти зв’язані між собою співвідношенням (2) :

.

Помножимо вектор на ; на ; на і додамо, при цьому лінійна комбінація векторів буде такою ж лінійною комбінацією компонентів векторів

Що й треба було довести.